当我们研究无穷时，会发生一些奇特的事情。考虑下面这个和式：
它叫做格兰迪级数，以意大利数学家、哲学家及牧师G·格兰迪（1671-1742，下图）之姓命名。
如果我们以如下方式将它分组
那么很容易知道S应该等于0，因为每个括号里都是0。不过，我们也没理由不用其它的方式分组，比如下面这样：
在这个情况下，S应该等于1！我们还有第三种方法来计算这个和式。先把它写成这样：
我们只不过在头上加了一个0，你应该同意这样做不会改变式子的和对吧。如果我们这样列出两列：
然后加在一起，就得到：
因此2S应该等于1，这样S就应该等于1/2。
无穷，但又很乖
如上包含无穷项求和的式子称为无穷级数，它们给我们对一些非常基本的数学概念（比如加和减）的理解带来了冲击。我们下一步要考察的无穷级数称为几何级数：
对它，我们有一个巧妙的求和法，就是用下面的图：
画一个边长为1的正方形，中分为两个长方形，面积各为1/2。然后如图将其中一个长方形又一分为二，得到两个面积为1/4的正方形。再将其中一个正方形分成两半，得到两个面积为1/8的长方形，以此类推，直至无穷。总面积（我们每次剩下没再分隔的正方形和长方形）和几何级数所有项的和相同。因为这个总面积就是大正方形的面积，所以几何级数应该就等于1。
确实，数学家也同意这个结论。他们会说这个级数收敛于1。正式的收敛是通过数列的部分和来定义的：
以此类推。
部分和给出一个序列：1/2、3/4、7/8、15/16……越来越接近1；实际上，只要我们一直加项，它们就可以任意地接近1。通常，如果一个无穷级数的部分和序列以这种方式收敛于一个有限值a，我们就说这个无穷级数收敛于a。
注意到，前面提到的格兰迪级数不具备这种性质。它的部分和如下：
以此类推。它的部分和永远在1和0之间跳跃，不收敛于一个有限的值，所以我们对它没有一个理所当然的赋值方法。
无穷和发散
上面几何级数收敛于1看上去是相当地直观。它的每一项，1/2、1/4、1/8等等越来越小，所以尽管我们一直在做加法，让它的和越来越大，但我们加的量到底还是太小，最后的和不超过1也没什么好惊讶的——但是，这样的论证是不妥当的。我们来看看下面的调和级数：
它和之前研究过的几何级数类似，后面的项越来越小。但出人意料的是，调和级数是发散的：部分和序列越来越大，而且可以冲破任何上限（下图）。我们称这样的级数趋于无穷大。
如果你不信，这里给出一个调和级数发散的反证法。在反证法里，我们先假定我们要证明的结论的反面是对的，然后让论证导出一个矛盾。如果我们要证明命题A为真，我们就先假设其反面、即非A为真。如果这个假设导出矛盾，那么就说明非A为假，那么我们的原命题A就一定是真的。现在，我们想证明调和级数发散，所以我们先假设其收敛于一个正值H。
我们知道：
以此类推。所以，如果我们把级数中奇数的分母换成相应的下一位偶数，就有如下不等式：
如果我们将相同分母的项相加，就得到：
上式右边又出现了调和级数，只是加了一个额外的1/2。由此得到：
因为这个矛盾是从我们假设调和级数收敛得到的，因此我们得出假设为假的结论：调和级数不收敛。随着部分和序列被加上越来越小的增量（每步都加上形为1/n的项），其结果也越来越大。唯一的可能就只能是部分和序列会超过任何上限（而不会像格兰迪级数那样跳来跳去）。由此H发散得证。
无穷，还很怪
当我们考察交错调和级数时，情况变得古怪起来。交错调和级数形似调和级数，但每隔一项改为负数，其定义如下：
我们可以证明它收敛于ln2≈0.7（这里ln2表示2的自然对数）。你可以用计算器加加看，如果学过微积分，可以将ln(x 1)展开为泰勒级数，然后取x=1处的值。
所以我们就以这个事实起头，记
现在，我们将等式两边乘以2
我们把它做做简化，让所有分母为偶数的分数先约分，然后和同分母的项组成一组（你会发现只有分母为奇数的项配成了对），得到式（1）：
去掉括号可得：
右边就是交错调和级数，所以我们似乎证明了
这是什么鬼？我们的证明一定有哪里搞错了，但不可思议的是，实际上上面的证明是没有问题的。对这个矛盾的解释是，我们在调整了交错调和级数各项的位置后，级数收敛到另一个值上了。式（1）右边可以写成
问题在于，虽然
收敛于ln2，重排后的级数
却收敛于
——尽管这两个级数具有相同的项！（上式其实就等于½ln2——译者按）
数学家黎曼（1826-1866）证明了一个有关无穷级数重排的重要结论。
我们来看看怎么理解这件事。在初始的交错调和级数中，我们从1开始，先减去1/2，再加上1/3，然后减去1/4，以此类推。每加一项我们又减掉了一项。而在交错调和级数的第二种表达式中，我们在加一项后连着减去两项。你觉得这样会怎么样呢？
下图表明了每添加一项后二者前25个部分和的变化。绿点表示初始交错调和级数的部分和，紫点表示重排后的级数的部分和。这张图表明了两个级数将收敛到不同的值上。
其实，我们可以重新排列交错调和级数使它收敛到任意想要的值上。动手算算下面的级数收敛到几，答案见本篇最下。
对那些只含正项的收敛级数，调整各项的顺序则不会影响它的和。我想，你一定会为此感到欣慰吧（笑）。
·
答
案
是
大约1.04。
,
