许多人认为, 欧拉在 1770 年出版的名著《代数学的完全引论》 (Vollstandige Einleitung zur Alegbra) 一书中曾经认为
对于任意的 ， (不论正负) 均有效。因此产生了严重的困难:令 , , 则有两个说法：一是利用上式以及算术根, 会得到
二是进入复域, 而可能得到例如 ， 而有
当然若令 ，, 则又会得到 ② 式。
欧拉犯“错误”的背景是, 在 18 世纪末到 19 世纪初, 人们对于复数还不很了解 (到了高斯证明了代数的基本定理后, 人们才普遍地接受了复数) , 因此算术根与一般的“根号”的区别, 不可能讲清楚, 我们既不必为欧拉这样的“贤者”讳, 更不必以此沾沾自喜, 而应考虑, 在我们的时代, 我们自己的教学中是否仍有那个时代的遗迹。
再举一个例子: 似乎毫无问题, 但是 , 于是又有两个说法:
一是
二是
为了解决这里的“矛盾”, 人们时常习惯于加上一些“规定”, 例如“先乘方后开方”之类 (在一些很古老的三角教本里, 讲棣美弗公式时就有这种情况) .但是数学中是不许可随意添加什么规定的, 所有的规定都必须要保证不会产生矛盾;如果不能做到这一点, 就要为此规定划定适用范围, 保证在此范围内不出问题, 而且要解释做出此种规定的理由。例如在很早时代 的一些中学代数课程里是这样来讲 ① 式的:
① 式只在 , 至少有一个为正时才成立。但是我没有看到任何书面的依据和解释。
我们现在的教材中仍然有类似的问题。例如说当 为奇数而 < 0 时, 定义
这个规定作为“定义”是不行的, 它会产生矛盾。看一个例子 (它是 ④ 和 ⑤ 的变形) :
或者 。 有 6 个值:
,,,,, 平方以后得到3个值:
,,
其中就没有3.
对此矛盾常有两种“解释”:
(1) “先乘方后开方”, 那么, 写成 与 是不相同的。这样, 置乘法的交换律于何地?
(2) “作为指数的分数规定必须化为既约分数”, 于是, 不准把作为指数的 写成 .那么, 分数指数就不能做加减法了, 因为分数的加减难免需要通分, 就是不能用既约分数。
越解释越出毛病, 这是常见的事。怎么办呢?认真地想一想算术根是怎么回事, 复数又是怎么回事。
2 算术根是怎么回事在中学数学教学中讲根式与分数指数时, 第 一步应该限于算术根。那么，什么是算术根?
定义若 , 则所谓算术根 就是方程 的唯一正根。
注 1这里规定 , 是为了避免 时产生困难。其实当 时, 人们也常说是0的算术根。这样做并无大碍, 不过当 时, 方程 的根 0 与其他的根, 性质很不相同。例如 2, 3, …等大于1的正整数时, 它是重根, 这与单重根很不相同 ( 非整数时情况更复杂, 远远超过了中学教学的可能性) .
注 2这里还应限于 的情况。因为当 时, 已经定义了 是 现在是无意义的。微积分中有时讨论这种类型的末定式是另一个问题。
注 3通常教材里只讨论 的情况。对于中学生当然这就够了, 但是实际上, 甚至 是无理数时, 这个定义仍然有效。这里定义宽一点, 一是为了方便, 二是不会出现矛盾。
以上所述, 除了三个注解可能有的老师会感到生疏外, 一般不会引起困难。但是有一个关键之处可能许多人未曾注意到。那就是, 这个正根是否存在?如果这里出了问题, 这个定义就成了一个“空定义”.由此而来的一切推论就从根本上失去了依据;再就是, 这个根必须是唯一的, 否则, 设有两个正根, 则在讲到算术根时, 指的是哪一个, 可能会有歧义。这里的存在和唯一性证明如下:
暂时设 , 令 =-a, 则它是定义在 上的连续函数, 而且 ，.
所以在此区间内必存在唯一的正的 使得 .这个 是唯一的正根, 即算术根 时证明类似。
我们在中学教材中讲的根号与分数指数都是指的算术根。曾经有人认为不妨规定 一定表示算术根, 而“一般的根” (连专门的称呼都没有) 则用√来表示, 但是现在似乎没有人接受, 这确实引起了一些记号与名词的混淆。
读者可能会问, 何以不用代数的基本定理来证明算术根的存在?原因是, 这个证明甚至可以适用于 为一般实数 (包括无理数) 的情况。更重要的是, 我们时常以为高斯本人的证明尽管很长, 却是“初等的”, 而现在应用了微积分里才讲的连续函数中间值定理, 就算是“高等的”, 因此对于中学数学教学是“超标”了。实际上高斯本人的证明正是应用了中间值定理, 但他不知道这个定理是有待证明的。首先指出这件事的是波尔察诺, 而他为了补起高斯的缺口使用了我们现在证明波尔察诺定理的方法, 但是波尔察诺也不知道以他命名的这个定理也是有待证明的。这个缺口一直到19世纪晚年才完全地被补了起来。我们现在知道的方程的解法中, 除了可以用公式写出解来的线性方程组, 以及2, 3, 4次代数方程以外, 还有哪一个可以不用这一类的拓扑学定理?看来多数情况下是不行的。代数的基本定理本质上是一个拓扑学定理。在这里讲了这么一大段, 当然不是要给中学生去讲, 而是为了破除一个迷信, 以为“高等的”一定很难, 而“初等的”一定容易。如果有哪位老师愿意去看一下高斯原来的证明, 就会发现, 其技巧性很强, 其“初等的”部分很难懂, 而它的真正实质的部分就是上面介绍的非常直观的拓扑学部分, 虽然是“高等的”, 却是很容易懂的。但是这个非常直观的拓扑学部分一直到19世纪末年, 人们才懂得也是必须证明而且非常难以证明的。现在连大学数学系都不一定会讲它的证明 (这样做, 对还是不对, 也难得说清楚) , 从事中学 (和高校非数学专业) 数学教学的老师当然不必为此去费工夫。重要的是要知道, 这些 “高等的”数学就在我们身边, 知道它们实际上
大大地简化了数学教学, 帮助我们少走弯路, 稍为学一点其实是所费甚少, 所得甚多的“低成本改革”。
现在回到算术根本身, 而我们的结果是:若 , 而 , 为任意实数, 则下面出现的算术根知 , 等等均存在, 均为实数, 而且
注:如果 及 (或) 为整数, 则“根式”成为乘积, 这时 , 的条件可以去掉, 只是要防止出现零的负幂。
⑧、⑨、⑩ (特别是 ⑧) 称为指数定律。不知道为什么, 这个很简明的又在国外很通用的名词, 人们似乎很不愿意使用。它们的证明时常被认为很容易, 不值得一提。事实上, 如果 , 是正整数, 而 ⑧、⑨、⑩ 只是连乘积公式, 证明确实很容易;而如果 , 中有一个负整数, 证明就不那么简单;如果是分数, 我不知道有谁确实试着去证明过。问题在于, 上述结果说的是 , 为任意实数, 何况从道理上说我们还要讨论 , 为复数的情况。可见我们需要一种新的证明方法。这个问题下面再说。
现在回到前面讲的算术根的定义, 负数有没有算术呢?为此, 我们再来看一下 时方程 是否有解。很明显这个 在 上是单调上升的, 而且 >0.所以它不会有正根。所以 < 0 不会有算术根。既然我们已经在教材中规定 (有时又没有明说) 用根号或分数指数来表示算术根, 则当 时 或 这些记号应该说是没有意义的。
但是前面讲过的例子的“例子” 实在太常见了, 用起来又方便, 所以大家总想“挽救”它。上面我们说了, 把它作为一个“定义”问题很大, 作为记号又与算术根的存在有矛盾, 所以我
建议, 不如网开一面, 仍保留它作为一个特殊情况下的权宜之计, 就是作为一个方便的记号。就是说, 若 为奇数, 而 , , 则 就是 , 再来进行其它的运算, 这样, 即得了方便, 又不会出毛病。还请注意, 现在的指数的分子一定是 1, 所以不存在约分通分等问题。
引入复数是数学中的一次大革命。这不仅是说, 我们从此有了强有力的武器来解决原来无法解决的问题。发现复数的几何解释, 大约是 19 世纪初年的事情。前后相继有三个人, 一是威塞尔, 他是一个挪威测量员, 认为用实数难以表示有方向的量, 而可以用复数;二是阿尔干, 他是一个法国小会计, 倒是业余喜好搞数学。他也想研究代数的基本定理, 而且提出了可以把 看成旋转 .这样他们互相独立地得到了复数平面的概念。
所以复平面在一些书上称为威塞尔平面或阿尔干平面, 原因在此。他们二人都不是专业的数学家, 所以尽管他们的工作都得到有名的数学家支持, 却未为广大数学界接受;第三个人来头可大了, 那就是伟大的高斯。可是数学界接受高斯的复数平面却不是因为数学家们也是“追星族”, 而是因为高斯正在研究一个重大问题。高斯发现代数的基本定理是当时数学里一个突出的贡献, 推动高斯以及数学界接受复数的, 正是这个定理。高斯称它为基本定理, 满意之情溢于言表, 虽然上面我们说了这个定理的一个核心思想是拓扑思想, 而这是高斯没有意识到的, 但是复数和复平面同样是这个发现的基础, 也是关键作用, 这一点高斯是完全理解的。只凭这一点就有理由称它为基本定理。
引入复数更重要的影响是, 许多原来人们认为已经理解了的事情, 现在才发现并未真懂。欧拉生活在复数正在登门但还没有入室的年代。他的“错误”恰好反映了这个情况。现在中学的数学教学的改革, 面临的也是在引入复数以后, 我们原来有哪些地方需要跟上 (说来可笑) 两百多年前的时代。“根式”无疑是首当其冲的一个焦点。
首先回到最基本的概念。在 这个表达式中, 如果把 当作变量, 就会得到“幂函数”, 把 当作变量, 就会得到“指数函数”.如果它们是复数, 就会得到“复变量函数”. ( 和 二者都是变量则更加复杂, 大学课程里也不会讲) “复变量函数”的理论是数学中的一个范围极大的领域, 当然不可能纳入我们讨论的范围。我们只想把 作为一个运算来看看它的一些与我们最为相关的性质。我们知道任意复数都有指数形式:， 称为其“模”, 也就是绝对值, 称为其“幅角”.但是这里就已经应用了著名的欧拉公式, 以及自变量取复数值的指数函数:。
怎样定义 以及 , 又怎样证明欧拉公式?这就是数学教学 (包括中学和大学) 中亟待解决的问题。如果因为不可能严格地讲就完全不讲, 而把这个任务推到遥远的将来, 真是削足适履, 会极大地妨碍学生的进步 (这里有一个数学教学里的怪圈:有某个重要的结果, 开始时我们告诉学生说将来有一天老师会讲的, 可是将来的老师又说:你们原来的老师应该已经给你们讲过了) 再者, 由复数的指数形式得出 这里又在复域里用到了 ⑩ 式 (而在复域中此式尚待证明)。这算不算循环论证?可见必须从根本上对 以及复域上的幂函数 和指数函数 下定义, 再以此为基础证明 ⑧、⑨、⑩ 诸式。
这里最好的方法是用微积分的方法。作者认为, 在没有找到好的适合于中学教学所需的讲法以前, 形式地给以承认, 而且大胆地应用它们, 特别是大胆应用欧拉公式, 比根本不讲或者推到遥远的未来, 要好得多。因为这将极大地拓广我们 (包括老师, 甚至主要指老师) 的视野。
有不少文献提出, 公式 ⑧、⑨、⑩ 在复数情况下不成立, 其根据就是上面举出的那些反例。我以为这种说法说的太急了一些, 而应该说, 它们在复域上需要新的解释。我们现在不来证明它们, 理由是这需要对复数有系统的理解。但是在承认我们熟知的复数运算规则的前提下, 不妨用这些规则, 对复域中这些公式仍然有效做一个验证, 但是我们限于 , 为实数的情况。
(1) 先看 ⑧ 式
分析一下这里的运算, 易见共有三步:
1° 利用“定义”;
2° 利用实域中的⑧式:;注意, 此式本来要求 , 而现在只有 .不过 时, , 这本来是要单独处理的, 所以我们实际上做的是 的情况;
3° 最重要的是 , 是否循环论证?我们暂时不来讨论, 但是我们熟知这种形状的复数乘法就是幅角的旋转, 所以, 复域中的⑧式与复数乘法的几何意义是相通的, 与三角里面的角公式 (即加法定理) 有异曲同工之妙。这是指数定律中最重要的一个。在整个数学中有意义深远的推广。不过, 指数理论中常称它为“加法定理”.
(2) 其次来看⑨式。因为 , , 所以 的模是 , 幅角 , 所以
(3) 关于⑩式:令 , 则 , 而
由此可见, 在复域中的指数定律, 对于复数的模, 原来的 ⑧、⑨、⑩ 式完全没有变化。可见, 关键在于幅角。
复数的幅角具有多值性, 不妨说, 这是一切麻烦的根源。如果 的幅角有一个值 , 则所有的 ( 是整数) 都是 的幅角, 而且 的所有幅角尽在其中。所以如果 有两个幅角 , , 则 , mod2\pi.在讨论幅角问题时, 不能用通常的算术, 而要用同余算术 , 这就是问题所在。在许多书上常把重点放在 上称它为主值, 于是出了问题, 主值是在 上还是在 上, 取开区间还是闭区间, 还是半开半闭区间, 是左开右闭还是什么。其实, 主值的选取是为了例如应用三角函数的公式更方便, 而不一定有原则的意义。所以我们现在就取任意的定值作为 .于是, 例如在计算 时, 我们应该这样作:
这样我们可以令 而得到 3 个值如下:
先看第一个括号。诚然
现在来看 ⑧、⑨、⑩ 式对于幅角部分应该做什么说明。我们先把以后要用的符号统一一下:, ; ,.这里 , 是幅角的特定值, 但不一定是主值, , 是任意整数; , 则是实数 (复数指数本文不讨论) .
在讨论 ⑧、⑨、⑩ 式之前, 先看一下 的多值性, 按定义 .如果 是整数, 则 也就可以当作等于来处理, 这里不生产任何多值性。如果 是有理数, 则把它写成既约分数 , 而 , 的新最大公因数 (为什么前面不许可随意约去公因数, 现在又要约去, 后面再解释) .这时 , , 1, , 恰好都是 可能的幅角之值。如果再取其他的 值, 则必与这 个值的某一个相差 的整数倍, 所以会给出同样的 .如果在这 个值中任取两个。
例如 , 则它们给出的幅角的值相差 , 因为 而不可能以 为因子, 又与 没有公因数, 所以在 中无法将分母 m 约去, 而 不会是 2\pi 的整数倍, 从而我们会得到 的不同的 个值, 而且是 的全部不同的值。这样我们知道 恰好有而且只有 个不同的值。在这里我们看到假设 为既约分数是不可少的, 否则有可能将分母 约去。我们讲了许多后, 是为了说明, 在数学中不要没有充分根据地 (甚至是想当然地) 规定什么事情, 例如见到分数就把分子分母的公因数约去, 尽管这样做在许多情况下确实会带来方便。如果一个问题的本质需要用到既约分数, 这个需要总会在讨论过程中出现。到那时, 不约去公因数反而不行, 这不是什么经验之谈, 而是:数学就是这么回事。
现在我们对 ⑧、⑨、⑩ 诸式中涉及的幅角问题加以说明。我们主要是讨论 ⑩ 式, 式右 的幅角为 而式左的
一个值得注意的事情是:在复域中, ⑧、⑨、⑩ 的双方的式子都不一定代表一个值, 而可能是若干个值——组成一个若干元的集合。说双方相等其实是表示左右两个集合相等, 即由相同元素构成, 而不是从左右双方取任意元素, 一定会取到相同的元素。前面讲到的矛盾都来源于此。
最后, 教训何在?必须注意由于数学科学的发展, 我们对于一些基本的概念的理解必须相应地跟上去。不论大学中学都是一个道理, 只不过程度不同, 做法不同而已。欧拉的“错误”其实并不是我们通常理解的“题目做错了”, 而是由于欧拉生活在这些基本概念——特别是复数概念正在征服人心的时代。从欧拉写他的《代数学的完全引论》到现在已经有二百三十多年, 在欧拉和我们时代之间, 至少还隔着高斯这样的巨人, 我们有什么理由不按着后来的发展改变我们的教学习惯?教学内容的现代化并不只是增加许多新内容 (必须增加的还要增加) , 更需要改变一些老的习惯。这样做并不一定有什么特别的困难, 本文中有什么很高深的理论或方法吗?
