问题：1³＋2³=，1³＋2³＋3³=，1³＋2³＋3³ 4³=，…，你能发现自然数的立方和有什么规律吗？
分析：试算一归纳一猜想一论证是研究与发现数学规律的重要手段，也是探求数学模式的重要途径。要解决本题，我们可先考察前2个自然数的立方和，前3个自然数的立方和，前4个自然数的立方和等特殊情形，再从中寻求一般的规律。
解：试算：1³＋2³=9=3²，1³ 2³＋3³=36=6²，1³＋2³ 3³ 4³=100=10² ，1³ 2³＋3³＋4³ 5³=225=15²。
归纳：从以上的试算可发现它们的结果均为一个平方数，那么这些平方数又有怎样的规律呢？
我们再进行试算：1＋2=3，1＋2＋3=6，1＋2 3 4=10，1 2＋3＋4＋5=15
由此我们可进一步归纳发现前n个自然数的立方和正好等于前n个自然数和的平方。
因此我们猜测：1³＋2³ 3³＋…＋n³=(1＋2＋3 … n)²
反思：以上为了发现前n个自然数的立方和的规律，我们先观察n=2，3，4，5的一些特殊情况，从中发现规律，进而对它的一般情况作出预测，猜测前n个自然数的立方和为前n个自然数之和的平方。数学家或科技人员面对某一个问题，在研究它的一些特殊情况的基础上，对它的一般情况作出预测，这样的预测叫做猜想。例如，德国数学家哥德巴赫(Gold-bach，1690—1764)经过观察，发现一个有趣的现象：任何大于5的整数，都可以表示为三个质数的和，他猜想这个命题是正确的，但他本人无法给予证明。
1742年6月6日，哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉(Euler，1707—1783)欧拉经过反复研究，发现解决问题的关键在于证明任意大于2的偶数，都能表示为两个质数的和。于是，欧拉对大于2的偶数逐个加以观察，得到如下一张长长的表：4=2＋2，6=3＋3，8=3＋5 ，10=3＋7=5＋5 ，12=5 7 ，14=3 11=7 7，16=3＋13=5＋11 ，18=5＋13=7＋11 ，20=3＋17=7 13 ，22=3＋19=5＋17=11 11
，24=5＋19=7 17=11＋13，26=3＋23=7＋19=13＋13，28=5＋23=11＋17…，
这张表还能继续延长下去，最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出："任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。"
这就是著名的哥德巴赫猜想。两百多年来，许多优秀的数学家为攻克这猜想付出了辛勤的劳动。目前，利用计算机已经验证了1亿3千万个偶数，还未发现反例。
我国数学家在对筛选法作了重大改进后，于1966年5月，证明，任何一个充分大的偶数，都可以表示成两个数之和，其中一个是素数(即质数)，另一个或者是素数，或者是两个素数的乘积。这结果震惊中外，被命名为"陈氏定理"。这定理已与证明哥德巴赫猜想仅一步之遥了，但这是最艰难的一步。近年来，各国数学家竞相攀登，但至今还未有人能摘到这颗数学"皇冠上的明珠"。人们对一个个猜想所作的大量研究工作，无论是攻克了，还是没有攻克，均促进了数学的发展。
数学中的许多定理、法则等都是以个别、特殊的数学现象中，通过寻求共性，发现规律，作出合情合理的猜想后得到的。猜想不一定总是成立，有时它是正确的，但有时也可能是错误的，必须对它加以证明，才能确认。法国数学家费尔马1640年发现：
即F(0)=3，F(1)=5，F(2)=17，F(3)=257，F(4)=65537，都是质数，于是，他猜想F(n)(n为自然数)都是质数，
4294967297，这个数能被641整除，所以f(5)不是质数，后来又有人发现n=6，7，8，9，11，12，15，18，23时，f(n)都不是质数。
虽然由猜想得出的结论并不一定可靠，然而从数学发现和培养探索能力的角度来说，则是十分重要的。牛顿也曾说过："没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现"。
对于以上归纳猜测得到的1³＋2³＋… n³=(1 2＋…＋n)²这种与自然数有关的数学命题，我们常采用数学归纳法来证明它们的正确性。
所谓数学归纳法就是：先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，然后假设当n=k(k∈N，k≥n0)时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n取第一个值后面的所有自然数也都成立)。
证明：(这里用几何方法)
当n=1时，画一个边长为1个单位的正方形，面积为1²，数值上等于1³。
当n=2时，把长为1的正方形看作第1层壳，在它上面再镶上第2层壳，构成边长为1＋2的正方形，面积为(1＋2)²，这层壳的面积为8，因此(1＋2)²=1＋8=1³＋2³，再镶上第3层壳(图1—1)
就有(1＋2＋3)²=1＋8＋27=1³＋2³＋3³，
需要证明：第k层壳(图1—2)的面积S为k³。
因为S=SA SB＋SC
SC=k2
此处无声胜有声，因为数学证明中包含的美丽与精巧实在是一道亮丽的风景线，而这种亮丽甚至不需要用语言来描述。下面进行无字证明（图形证明）：
方法1;
方法2：
方法3：
观察(或试算)往往可以看出事物的个别的特征，是探索规律的基本条件。归纳就是将所反映出来的特征进行分类、整理、加工、使之初步上升为本质的东西。它是探索规律的前提。正确的归纳，抓住规律的本质，充分根据数字、式子、图形的基本特征，是合理猜想的基础。猜想不是盲目瞎猜，是根据特征分析，带有规律的发现，证明是用数学工具对思维的正确程度加以判断的手段，只有严格论证才能反映出对规律猜想的合理性。观察(或试算)、归纳，猜想，证明在探求或研究具体数学规律中有机地结合在一起，这样能起到积极的作用。
最后，再说明一点，通常猜想是指数学家对重大数学问题，根据所发现的规律作出的合情推理，对于我们所遇到的数学问题，在发现规律后，所作的合情推理，往往只能称为猜测。猜测法也是解决问题的一个重要策略，它有助于构思解题的方向。在解决问题时，学会做各种数学猜测，然后加以证明，有利于发展创造性思维。
3. 42，人类破解宇宙生命终极答案，竟是3个整数立方和42，可以写成3个整数的立方和！这是数学界的一大突破，由MIT和布里斯托大学的数学家共同发现，他们以"生命、宇宙以及一切"的网页标题，公布了这一成果。
人类第一次将42写成了3个整数的立方和！
昨天，有人在 MIT 数学系的网站上贴出一个等式，网页很简单，但没给出结果：
（-80538738812075974）³ 80435758145817515³ 12602123297335631³
等于 42！
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