欧洲自然数平方倒数和是17世纪下半叶的著名的数学难题，它困扰着欧洲当时许多一流的数学家，这时的欧拉横空出世，凭借着高超的数学技巧，出人意料的解决了这个难题，从此登上了一流数学家的舞台。解决自然数倒数和是欧拉最早的成名之作。本篇就来讨论这个历史性的难题
下图中的几位欧洲数学大家都曾深入研究过这个问题，但都无果而终，我们来看看轰动一时的欧拉是如何解决这个问题的
首先我们要借用前一篇《有关π的无穷的数学魅力和它的妙用》中欧拉推导出的sinX麦克劳林级数形式和用根写出的无穷多项式形式。
聪明伙伴也许已经猜到欧拉的思路，就是展开根的无穷多项式和它的麦克劳林级数相对应，没错，是这样的。但如何展开这个看上相当繁琐的多项式呢？我们一步步来，首先第一项和二项相乘得到黄色部分
接着，我们将上式的第一项和第二项相乘，合并同类项，这个凭我们的初中知识就可以得出来
继续重复前面的步骤，合并同类型，我们重点关注下x^3的系数，马上要刷新你的三观了，因为它与自然数平方倒数和的形式最接近
我们就这样一直做下去，你猜绿色部分最后的形式会变成什么样式，
没错，x^3最后的形式是这样的，尽情的回忆一下上面说的，这个x^3的多项式须等于sinX麦克劳林级数中x^3的项
这是不是与我们的目标越来越近了，我们继续
两边乘以-1，在乘以π^2得到，就得到真正的自然数平方倒数和的形式，是不是很神奇
欧拉的证明是伟大的，别具一格的数学技巧往往能出奇制胜，得到你意想不到的结果。
凭着好奇心，拿起手中的笔算一算，我们看看x^5项会得到什么，出人意料的得到自然数4次方倒数和。
能得到这样的结果非常了不起，这一连串的数学规律和连锁反应都是有自然数平方和的倒数引起的，从此也刷新了我们对数学的认知。
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