复旦姚慕生《抽象代数学》知识点整理，“高等教育补完计划”系列作品。
借用李文威在他的《代数学方法》卷一中的前言：
本书主题有时也称为“近世代数” 或“抽象代数”. 所谓近世, 总是相对于当时当世而论, 早在1955 年van der Waerden 发表《代数学》第四版时便已舍弃此词, 于今更无必要. 至于说抽象, 充其量是初学者的错觉, 作为课名或书名完全不得要领, 而且似乎有恫吓读者之嫌.
本人打算对数学和物理类的大学教材做知识点总结，如果有同道中人愿意做同样的事情，同时有足够的责任心和毅力(仔细校对所整理的知识点，尽最大努力避免出现错误)，那么欢迎加入，来者不拒。
这些知识点总结全部是用latex排版的，先生成PDF，再转换成图片。友情提示，我整理知识点的时候采用了Mathpix Sniping tool这个软件(手机、电脑均可用，每个月都有一定的免费使用次数)，对准书上内容拍照，软件自动识别文字和公式，转换成Latex代码，然后稍作校对即可。这意味着：你可以把我提供的图片用mathpix进行识别，进而编译出矢量PDF。想和我一起完成“高等教育补完计划”的志愿者，也请使用Latex，而不是Word.
如果发现我整理的知识点有错误或者重大遗漏，欢迎在评论区或者私信给我指出，我将进行修正和完善。
目前已发布的科目有：数学分析(陈纪修，上、下)，复变函数(胡嗣柱)，高等代数学(姚慕生、谢启鸿)，抽象代数学(姚慕生)，
将要发布的科目有：(发布时间无法保证，可能会连载很多年)
概率论与数理统计、解析几何、常微分方程、偏微分方程、数学物理方程、数值计算方法、离散数学、实变函数与泛函分析、拓扑学、微分几何、代数拓扑、交换代数、代数几何、黎曼几何、解析数论、代数数论……
基础物理、电动力学、热力学与统计物理、量子力学、电磁学、光学、固体物理、原子物理、群论、张量分析、广义相对论……
理论力学、计算力学、材料力学、弹性力学、流体力学、空气动力学、有限元方法……
我梦想有一天，中国的学生在国内就能接受全球顶级的教育。
我梦想有一天，中国的高校每年都能诞生诺贝尔奖。
我梦想有一天，中国教授编写的教材被翻译成各种语言，在全世界被广泛采用。
我梦想有一天，中国高校里条件最好的宿舍外面挂着一块牌子，写着“洋人与狗不得入内”。
我梦想有一天，中国高校吸引来的外国学生都是最顶级的，而不是携带HIV的洋垃圾。
我梦想有一天，……
免费提供前25条知识点的latex代码：
\item 设$B$是$A$的子集，记$A-B=\{a\in A\mid a\notin B\}$，即$A-B$是由$A$中不属于$B$的元素构成的集合，称$A-B$为$B$在$A$中
的\textbf{余集}或\textbf{补集}. $A-B$有时也记为$ A\backslash B$.
\item 设$A,\ B,\ C$都是集合，则有下列性质：\\
(1)若$A\subseteq B$，则$A\cup B=B,\ A\cap B=A$，特别，$A\cup A=A,\ A\cap A=A$；\\
(2)$A\cup B=B\cup A,\ A\cap B=B\cap A$；\\
(3)$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),\ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$；\\
(4)$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$，\\
$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$；\\
(5)若$A，B$是$C$的子集，则
\begin{align*}
&C-(C-A)=A\\
&C-(A\cap B)=(C-A)\cup(C-B)\\
&C-(A\cup B)=(C-A)\cap(C-B)
\end{align*}
\item 设$A,B$是集合，有序偶$(a,b$)(其中$a\in A,b\in B$)全体组成的集合称为$A$与$B$的\textbf{Cartesian积}
(简称为$A$与$B$的积),记为$A\times B$，即：
\begin{align*}
A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}
\end{align*}
$A\times B$中两个元素$(a,b)=(c,d)$的充要条件是$a=c$且$b=d$.
\item 设$A,B$是集合，积集合$A\times B$的一个子集$R$就称为$A$到$B$的一个\textbf{关系}，特别$A\times A$的子集称为$A$上的一个关系. 若$(a,b)\in R\subset A\times B$，则称$a$与$b$为$R$相关，记为$aRb$.
\item 设$R$是$A$上的一个关系，若$R$适合下列条件：\\
(1)自反性，若$a\in A$，则$(a,a)\in R$；\\
(2)对称性，若$(a,b)\in R$，则$(b,a)\in R$；\\
(3)传递性，若$(a,b)\in R,\ (b,c)\in R$，则$(a,c)\in R$；\\
则关系$R$称为$A$上的\textbf{等价关系}.
等价关系常用$ \sim $表示，即$a\sim b$表示$(a,b)\in R$.
\item 一个集合如果能表示为两两互不相交的子集之并，则称这些子集族为该集合的一个\textbf{分划}. 设$R$是集合$A$上的一个等价关系，则$R$决定了$A$的一个分划$P$，且由$P$导出的等价关系就是$R$. 反之给定$A$的一个分划$P$，则可得到$A$上的一个等价关系$R$，且由这个等价关系$R$决定的$A$的分划就是$P$.
\item 设$ \sim $ 是集$A$上的一个等价关系，$A$上的所有等价类的集合称为$ A $关于等价关系$\sim$的\textbf{商集}，记之为$A/\sim$或$\overline{A}$.
\item 设$A,B$是两个非空集合，$M$是$A$到$B$的一个关系(即$M\subseteq A\times B $),若$M$适合下列条件：对$A$中任一元素$a$，有且只有一个$B$中的元素$b$，使$(a,b)\in M$，则称$M$是集合$A$到$B$的一个映射或映照. $A$称为这个映射的定义域，$B$称为映射的值域.
\item 设$A,B$是非空集，作$A\times B\rightarrow A$的映射$(a,b)\rightarrow a$. 这个映射称为$A\times B$到$A$上的\textbf{投影}. 同样也可以定义$A\times B$到$B$上的投影.
\item 设$f:A\rightarrow B$，若$\mathrm{Im}\, f=B$，则称$f$是\textbf{映上映射}
或\textbf{满映射}.
若对$A$中任意两个元素$a\neq a'$，均有$f(a)\neq f(a')$，则称$f$是\textbf{单映射}. 若$f$既是满映射又是单映射，则称$f$是\textbf{双射}或一一对应.
\item 设$f:A\rightarrow B$是映射，则\\
(1)$f$是单映射的充要条件是存在$g:B\rightarrow A$，使$g\cdot f=I_A$ ； \\
(2)$f$是满映射的充要条件是存在$g:B\rightarrow A$，使$f\cdot g=I_B$ ； \\
(3)$f$是双射的充要条件是存在$g:B\rightarrow A$，使$g\cdot f=I_A$且$f\cdot g=I_B$.
\item 设$ *,\ \cdot $是集$S$上的两种运算，则\\
(1)若对任意的$a,b,c\in S$，均有
$$
a*(b*c)=(a*b)*c,
$$
则称运算$ * $满足结合律；\\
(2)若对任意的$a,b\in S$，均有
$$
a*b=b*a,
$$
则称$ * $满足交换律； \\
(3)若对任意的$a,b,c\in S$，均有
$$
a*(b\cdot c)=(a*b)\cdot (a*c),
$$
则称$ * $关于$ \cdot $适合左分配律. 又若$(b\cdot c)*a=(b*a)\cdot (c*a)$，则称$ * $关于$ \cdot $适合右分配律. 同时适合左、右分配律者称为适合分配律.
\item 设$A$是一个非空集，$P$是$A$上的一个关系，若$P$适合下列条件：\\
(1)对任意的$a\in A,(a,a)\in P$ ； \\
(2)若$(a,b)\in P$且$(b,a)\in P$，则$a=b$ ； \\
(3)若$(a,b)\in P,\ (b,c)\in P$，则$(a,c)\in P$，\\
则称$P$是$A$上的一个\textbf{偏序关系}. 带偏序关系的集合$A$称为\textbf{偏序集}
(Partially Ordered Set, poset)或\textbf{半序集}.
若$P$是$A$上的偏序关系，我们用$a\leq b$来表示$(a,b)\in P$.
\item 实数集上的小于等于关系是一个偏序关系. \\
设$S$是集合，$P(S)$是$S$的所有子集构成的集合，定义$P(S)$中两个元素$A\leq B$. 当且仅当$A$是$B$的子集，即$A\subseteq B$，则$P(S)$在这个关系下成为偏序集.
\item 在偏序集中，并非任意两个元素之间都有序关系. 有一类偏序集，其中任意两个元素均有序关系. 即若$a,\ b\in S$，则$a\leqslant b$或者$b\leqslant a$，这样的偏序集称为\textbf{全序集}(Totally Ordered Set). 一个偏序集中的全序子集称为该偏序集的一根“链”. \\
记$b<a$为$b\leqslant a$且$b\neq a$. 偏序集中的一个元素$c$称为\textbf{极大元}，若不存在该集中的元素$a$，使得$c<a$. 有限偏序集总存在极大元，无限集有可能没有极大元. \\
若$S$是一个偏序集，$A$是$S$的子集，若存在$c\in S$，且对$A$中任意元$a$均有$a\leqslant c$，则称$c$是子集$A$的一个上界. 注意，上界一般不唯一.
\item (\textbf{Zorn引理})设$S$是一个偏序集，若$S$中的每根链都有上界，则$S$有极大元. \\
(Zorn引理与选择公理等价. )
\section{群论}
\item 设$S$是一个非空集，在$S$上存在一个二元运算记为“$ \cdot $”(乘法). 即对任意的$x,y\in S$，总存在唯一的元$x\cdot y\in S$与之对应. 又该乘法适合结合律，则称$S$是一个\textbf{半群}. \\
半群的乘法如适合交换律，则称这个半群为\textbf{交换半群}. \\
如果在一个半群$S$中存在一个元素$e$，使对一切$a\in S$，均有
$$
ea=ae=a,
$$
则称$e$是$S$的\textbf{么元}(幺元、恒等元、单位元).
这样的半群称为\textbf{么半群}.
\item 一个么半群$G$(么元为$e$)如果适合下列条件则称为\textbf{群}：
对$G$中任一元$a$，均存在$a'$，使
$$
a'a=aa'=e.
$$
元素$a'$称为$a$的\textbf{逆元}，记为$a^{-1}$. \\
群$G$的运算若适合交换律，则称之为\textbf{交换群}或\textbf{Abel群}.
交换群的运算有时用加法“ "来表示，这时么元记为$0,\ a$的逆元
(也称负元)记为$-a$，这种群也称为\textbf{加法群}. \\
一个群如果只含有有限个元素就称为\textbf{有限群}，否则就称
为\textbf{无限群}. 通常用$|G|$表示$G$的元素个数.
若$|G|=n$，则称$G$为$n$阶群.
\item 设$S$是一个集合，$S$上的一个一一对应称为$S$的一个变换.
$S$的全体变换记为$A(S)$. $A(S)$中两个变换的乘法为其合成，则由于映射的合成适合结合律，且$Id_S$显然是$A(S)$的么元，$A(S)$是一个么半群. 对$A(S)$中任一变换$f$，它的逆变换$f^{-1}$适合$f\cdot f^{-1}=f^{-1}\cdot f=Id_S$，故$A(S)$是一个群. 这个群称为集合$S$上的\textbf{变换群}.
\item 若集合$S$是一个有限集且有$n$个元素，则$A(S)$称为$n$阶
(或$n$次)\textbf{对称群}，通常用$S_n$来表示. 由于$S$的全体元素的任一排列决定了$S$的一个变换且$S$的任一变换决定了一个全排列，因此$S_n$的阶为$n!$(注意$n$阶对称群的阶不是$n$).
\item 设$K$是一个数域(有理数域、实数域或复数域等),$K$上$n\times n$非异矩阵全体在矩阵的乘法下构成一个群，么元为$I_n$，即$n$阶单位阵. 当$n\geq 2$时这个群是非交换的. 通常称这个群为域$K$上的$n$阶\textbf{一般线性群}
(General Linear Group),记为$GL_n(K)$. \\
设$SL_n(K)=\{A\in GL_n(K)\mid |A|=1 \}$，即行列式为1的$n\times n$
矩阵全体. 不难看出$SL_n(K)$在矩阵的乘法下也构成一个群，
称为$n$阶\textbf{特殊线性群}(Special Linear Group).
\item $ O_n(K) $：正交群(Orthogonal group),转置等于逆的方阵；\\
$ SO_n(K) $：特殊正交群(SpecialOrthogonal group),行列式等于1的正交矩阵；\\
$ U_n $ ：酉群(Unitary group),共轭转置等于逆的方阵；\\
$ SU_n $：特殊酉群(Special Unitary group),行列式等于1的酉矩阵.
\item 设$H=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$共有8个元素，
在$H$上运算：$i^2=j^2=k^2=-1,\ ij=-ji=k,\ jk=-kj=i,\ ki=-ik=j $，
$H$称为Hamilton\textbf{四元数群}.
\item 群的性质：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*),itemsep=-1pt,leftmargin=16pt,topsep=-2pt]
\item 群的么元唯一.
\item 对群$G$中任一元$a$，其逆元也唯一.
\item 对群$G$中任一元$a$，有$(a^{-1})^{-1}=a$.
\item 设$a,b$是群$G$中元素，则$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.
\item 对群$G$中任意两个元素$a,b$，方程$ax=b$及$ya=b$在$G$中有唯一解.
\item 左、右消去律在群中成立. 即若$au=bu$，则$a=b$. 又若$va=vb$，则$a=b$.
\item $a^m\cdot a^n=a^{m n}$.
\item $(a^m)^n=a^{mn}$.
\item $(a^{-m})^n=a^{-mn}$.
\item $(a^m)^{-n}=a^{-mn}，(a^{-m})^{-n}=a^{mn}$.
\end{enumerate}
约定$a^0=e$.
\item 若$G$是加法群，则记$\underbrace{a \cdots a}=na$，性质如下：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*),itemsep=-1pt,leftmargin=16pt,topsep=-2pt]
\item $ ma na=(m n)a$.
\item $n(ma)=nma$.
\item $n(-ma)=(-mn)a$.
\item $(-n)(ma)=(-mn)a,\ (-n)(-ma)=mna$.
\end{enumerate}
约定$0a=0$.
