基于学习路径分析的“三位数乘两位数”单元整体教学
——如何做好算理算法的迁移
朱海湖、邹安琪、章勤琼
数的运算一直是我国小学数学教学中的重要内容。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。这样的表述表明运算能力并不仅仅体现在计算准确度和速度上，更体现为在方法合理的基础上理解算理并求出正确答案。运算能力还有更丰富的内涵，如基本口算、理解算理、掌握算法、运算策略等。
“三位数乘两位数”单元是小学阶段整数乘法计算的最后一个知识模块。以人教版教材为例，教材在三年级上册中编排了“两位数乘一位数”的内容，这是学生学习“笔算乘法”的起始课，以帮助学生形成规范的笔算格式；三年级下册编排了“两位数乘两位数”的内容，引导学生通过点子图理解算理，掌握“‘另一个因数十位上的数乘第一个因数’的积的末尾如何对齐”的计算方法。教材在编写这两个计算内容时都及时融入口算与估算的教学，试图通过口算与估算帮助学生达成对算理的深入理解，熟练算法。而在四年级上册“三位数乘两位数”单元，教材编排的第一课时就是笔算，没有口算，竖式计算过程中也不再有算理学习的痕迹。这样的教学编排隐含着“迁移学习”之意。作为教师，应如何理解本单元的教学是为后续多位数乘法以及小数乘法提供计算模型？如何提升学生的计算技能与策略？本文基于学习路径分析，对“三位数乘两位数”单元进行了整体教学的思考。
一、理解单元学习目标
（一）单元教学内容概述
人教版教材四年级上册“三位数乘两位数”单元的教学目标主要是：
（1）理解三位数乘两位数的笔算算理，并会计算。
（2）经历探索“积的变化规律”的过程，理解规律内涵，并能运用规律使一些计算简便。
（3）结合具体情境，了解“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”等常见的数量关系，并能运用这些数量关系解决一些简单的实际问题。
北师大版教材四年级上册“卫星运行时间”单元的教学目标主要是：
（1）结合具体情境，探索三位数乘两位数的计算方法，理解竖式计算方法的道理。
（2）能用竖式正确计算三位数乘两位数，会进行估计。
（3）能运用乘法知识与估算策略解决一些实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
（4）结合计算器探索有趣的乘法算式，在分析与比较中发现规律。
对比发现，两个版本教材都提出了“能正确计算三位数乘两位数、理解笔算算理，且能运用不同策略使计算简便或解决实际问题”等要求，但对于具体内容的安排略有不同。北师大版教材在习得基本算理、算法后，引导学生用估算、计算器等方式解决问题，提倡算用结合，注重问题解决的策略。而人教版教材倾向于算理的理解、算法的掌握，旨在为后续进一步学习乘法运算做准备。
由此得出，本单元的教学内容有以下三个方面：
（1）理解三位数乘两位数的算理，掌握计算方法。
（2）发现、理解并运用“积的变化规律”，进一步培养运算能力。
（3）了解两种常见的数量关系：总价=单价×数量，路程=速度×时间，并运用不同的运算策略解决一些实际问题。
（二）确定核心目标
本单元需关注运算能力的培养。曹培英老师提出了“四面体模型”，对运算能力结构进行了刻画：基本口算与进一步的算法、算理共同构成运算能力的底部。运算能力的提高必须建筑在这一基础上。运算策略是指运算信息的挖掘与运算问题的定向、运算方法的选择与运算过程的简化及其自觉评价。运算策略水平是鉴别运算能力的敏感因素。
“三位数乘两位数”是整数乘法学习的最后一个阶段，教师在教学时要对整数乘法的算理和算法进行回顾和整理，其作用是总结整数乘法的一般方法，也就是“用一个因数每一位上的数分别乘另一个因数”，并进一步帮助学生理解算理，建构起乘数是两位数的乘法运算法则。因此本单元的核心目标是“理解三位数乘两位数的算理，进一步培养运算能力”，这也是后面学习其他乘法内容的基础。
（三）核心目标具体化
结合以上整体分析，将核心目标具体化为：
（1）理解三位数乘两位数的算理。主要有两个内容，即能将两位数乘两位数的算理与算法迁移运用于三位数乘两位数，讨论交流总结多位数乘两位数的一般方法。
（2）进一步培养运算能力。具体表现为掌握乘法的运算性质，理解积的变化规律，并能对其进行灵活运用，使一些计算简便，便于梳理基于乘法运算的数量关系，发展多元的运算策略。
二、确定学习起点
为了更好地了解学生的知识起点，从三位数乘两位数的算理、算法的理解程度和运算策略两个方面对四年级学生进行了调查。
（一）学生对算理、算法的理解情况分析
测试题：按要求计算下面这道题，并写出每一步代表的含义。
测试结果如表1所示。
根据前测结果不难发现，由于三位数乘两位数的教学内容是在两位数乘两位数的基础上学习的，超过90%的学生能将两者的计算方法进行关联，利用以往的学习经验，采用迁移算法的方式进行计算。但对算理的理解会显得困难一些。
（二）学生对运算策略的使用情况分析
1．因数中间和末尾有0的情况
测试题：笔算下面各题，并说一说你是怎么想的。
220×40 108×40
学生解答方法与情况分析如表2所示。
2．解决问题中运算策略的使用情况
《数学作业本》中有这样一道题：“王大伯的茄子地，面积是225平方米，长是45米，现在要将宽扩大2倍，则王大伯的茄子地现在是多少平方米？”有80%的学生采用常规方法计算：225÷45=5（米），5×2×45=450（平方米）。几乎没有学生想到用积的变化规律解决问题，说明学生受以往学习经验的影响较大，运用不同策略解决问题的意识相对淡薄。
基于对学生算理、算法理解情况和运算策略使用情况的分析得出启示：教师要借助有效的情境，帮助学生理解乘数是两位数时用“十位上的数”与“个位上的数”分别乘另一个因数的相应的算理，并建构起乘数是两位数的乘法运算法则。引导学生在准确计算的基础上，运用一定的计算策略灵活解题。
三、单元整体设计的思考
按照人教版教材的编排，“三位数乘两位数”单元的学习分为三个阶段：第一阶段教学三位数乘两位数笔算，先教学一般笔算方法，再学习因数中间、末尾有0的乘法；第二阶段教学积的变化规律；第三阶段教学常见的数量关系：总价=单价×数量，路程=速度×时间。
根据学情分析，考虑将因数中间、末尾有0的乘法的学习进行调整，将此内容分为两部分：第一部分是算理算法的学习，用三位数乘两位数的一般方法进行计算；第二部分是运算策略的学习，比如可以利用积的变化规律帮助学生理解因数末尾有0的情况，也就是说，笔算220×40时，先算22×4，再利用积的变化规律——因为两个因数各扩大10，所以积会扩大100倍，在竖式的结果上直接添加两个0。
综上所述，基于学生学情，将本单元知识教学的“序”做如下调整（如表3），更符合学生的学习路径。
经调整后，虽然本单元的教学内容仍旧分为三个阶段，但每一阶段的具体学习内容有所调整。第一阶段主要是对算理、算法的迁移，因而对原教材中“已知速度、时间，求路程”的情境进行调整，改为“单价×数量=总价”的模型，运用乘法的意义更好地巩固算理的表达。第二阶段是运用积的变化规律灵活计算，需要2个课时进行学习，将“有0的情况的简便书写”融合进来，注重不同运算策略的运用。第三阶段主要学习常见的数量关系。同时，在总课时不变的情况下做适度拓展。本单元具体教学内容的安排如表4所示。
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