在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为AC的中点.

(1)如图1,E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接CF,过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明;

(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.

三角形中位线逆定理(三角形中位线定理的运用)(1)

图1

【涉及考点】全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理.

【解题分析】

(1)延长DF交AB于点G,根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点,根据中位线的性质及已知条件AC=BC,得出DC=DG,从而EC=FG,易证∠1=∠2=90°﹣∠DFC,∠CEF=∠FGH=135°,由AAS证出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.

(2)通过证明△CEF≌△FGH(ASA)得出.

【详细解答】解:(1)FH与FC的数量关系是:FH=FC.

证明如下:延长DF交AB于点G,

三角形中位线逆定理(三角形中位线定理的运用)(2)

图2

由题意,知∠EDF=∠ACB=90°,DE=DF,

∴DG∥CB,

∵点D为AC的中点,

∴点G为AB的中点,且DC=1/2AC,

∴DG为△ABC的中位线,

∴DG=1/2BC.

∵AC=BC,

∴DC=DG,

∴DC﹣DE=DG﹣DF,

即EC=FG.

∵∠EDF=90°,FH⊥FC,

∴∠1 ∠CFD=90°,∠2 ∠CFD=90°,

∴∠1=∠2.

∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形,

∴∠DEF=∠DGA=45°,

∴∠CEF=∠FGH=135°,

∴△CEF≌△FGH,

∴CF=FH.

(2)FH与FC仍然相等.

理由:由题意可得出:DF=DE,

∴∠DFE=∠DEF=45°,

∵AC=BC,

∴∠A=∠CBA=45°,

∵DF∥BC,

∴∠CBA=∠FGB=45°,

∴∠FGH=∠CEF=45°,

∵点D为AC的中点,DF∥BC,

∴DG=1/2BC,DC=1/2AC,

∴DG=DC,

∴EC=GF,

∵∠DFC=∠FCB,

∴∠GFH=∠FCE,

在△FCE和△HFG中

角CEF=角FGH,EC=GF,角ECF=角GFH

∴△FCE≌△HFG(ASA),

∴HF=FC.

三角形中位线逆定理(三角形中位线定理的运用)(3)

图3

【总结】

这道题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识,综合性强,难度较大.

三角形中位线逆定理(三角形中位线定理的运用)(4)

图4

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