一分钟内学会三角函数（一道必做的三角函数难题）

本文分享一道有关三角函数的好题，并给出分析与解答。本文适合高中学历的读者。

引言

最近遇上了一道稍有难度的竞赛题，方法巧妙，需要一定的解题技巧，值得反复练习。这道题如下陈述：

本题看似只是简单求值问题，但涉及技巧颇高。有兴趣的读者可以先尝试做一做，然后阅读下面的分析以及解答过程。

分析

本题需要一定的三角函数以及代数知识。经观察不难发现，解答本题最大的困难在于处理三角函数值的立方根，这导致和差化积、积化和差等三角恒等变形不再奏效。为了很好地处理立方根，我们自然联想到一些很有用的立方公式，其中最有参考价值的是下面这个熟知的恒等式：

上面这个恒等式很好地将一些对称多项式联系在了一起。再考虑，三次根号内的三角函数值是否存在关联？是否能够求出以上恒等式中出现的立方和、平方和、乘积等对称多项式的值？此时立即联想到韦达定理，也就是说如果能够构造一个多项式，使得根号内的三个三角函数值同时是这个多项式的根，那么就能够求出相关的一些对称多项式的值，这就是解决本题的大致思路。

解答

考虑以下方程：

这个方程有以下6个复根：

根据根之间的关系不难看出，

也就是说这三个三角函数值都能写成 x 1/x 的形式，我们令 y = x 1/x，有：

将上述方程两边同时除以 x³ 并把上述 y 的式子代入得：

这个方程的三个根刚好是：

至此，我们已经用多项式将我们需要的三个三角函数值联系在了一起。不过，题目需要我们求的是它们的立方根的和，因此我们考虑下面的两个恒等式：

其中第二个恒等式可以由第一个恒等式换元得到。我们令 X³，Y³，Z³ 是方程 y³ y² - 2y - 1 = 0的三个根，由韦达定理可得

这样一来，上面两个恒等式的左边就确定了，但我们还需要 X Y Z 以及 XY YZ ZX，我们令 u = X Y Z，v = XY YZ ZX，并代入恒等式得：

我们将两式左边乘左边，右边乘右边，并令 m = uv 得：

这个方程唯一的实根为：

进而我们可以求出 u :

那么我们可以最终求出此题的答案：

点评

本题的解答很巧妙使用了恒等式以及多项式的根之间的关系，把看似复杂的代数式转化成比较好求的代数式。解答过程看似繁琐，其实掌握了思路都在情理之中，适合反复练习。

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