导读
1、 作为西学东渐--海外文献推荐系列报告第八十九篇，本文推荐了Otto Hemert, Mark Ganz, Campbell Harvey等人于2020年发表的论文《Drawdowns》。
2、 在评估基金经理或投资策略时，最大回撤是一个重要的指标。本文重点对最大回撤的相关性质与应用进行详细研究。
3、 本文首先在给定的收益率分布下，通过模拟，计算了最大回撤的概率分布，量化了达到各回撤水平的概率，以便对基金的配置和赎回做出决策。之后，本文针对模拟的收益率数据与真实的收益率数据，分析了时间范围与夏普比率对达到某一回撤水平的概率的影响：结果表明，随着时间范围的增加，达到某个回撤水平的概率会增加；随夏普比率的增大，达到某个回撤水平的概率会减小。
4、 随后，本文研究了基于回撤的基金经理替换规则（即当基金的最大回撤达到某一阈值时，替换掉该基金经理），并与基于收益率的基金经理替换规则进行对比。结果表明，当基金经理的能力不变时，基于收益率的替换规则可以更有效地改善投资表现；当基金经理的能力可能随时间的推移而变差时，基于回撤的替换规则可以更有效地改善投资表现。此外，本文的研究结果表明，由于随时间的增加，达到某个回撤水平的概率会增加，因此基于动态调整的最大回撤阈值的替换规则可以有效提升投资效果。本文的研究结果有助于利用最大回撤数据评估基金经理与投资策略，具有较大的应用价值。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
1、引言
学术界常用的风险指标包括波动率、偏度和因子暴露。最大回撤很少被用到，也许是因为最大回撤的计算与路径相关，并且估计时具有较大的不确定性。然而，在实践中，资产组合经理和信托经理通常会用回撤数据进行基金的配置和赎回决策。本文在给定的收益率分布特性的情况下，量化了达到各回撤水平的概率，来更好地做出这样的决策。本文的研究结果表明，随着时间的推移，通过检测那些失去战胜市场能力的基金经理，基于回撤的规则可以有效改善投资表现。这可能是由于结构性市场变化、所采用策略的竞争加剧、员工流失或基金积累了过多资产。最后，本文表明基于回撤的规则可以作为一种降低风险的工具，但这会同时影响预期收益率和风险。
在评估基金经理或投资策略时，投资者对最大回撤较为关注。例如，对于对冲基金投资来说，当最大回撤超过某一阈值时，资金就会被撤出。最大回撤指标具有吸引力的原因是它的计算是明确的，并且捕捉了最不利的投资情形：即在最高点买进，在最低点卖出。
最大回撤不同于波动率、下行指标（偏度或半方差）等指标，因为最大回撤重点依赖于收益发生的次序。对于最大回撤，除非在非常严格的假设下，通常很难得到封闭解。本文的第一部分进行了一个模拟研究，来确定最大回撤达到给定阈值的概率对关键假设的敏感性，我们将其称为回撤希腊字母（drawdown Greeks）。确定最大回撤的关键驱动因素包括评估周期（陷入困境的时长）、夏普比率（脱离困境的能力）和风险持续性（连续失败的几率）。后者可能会激励基金经理在面临严格的回撤限制时，主动瞄准更稳定的风险状况。我们发现，非正态、与时间无关（time-independent）的收益率（例如偶然的向下跳空缺口）只有在大于通常值的情况下才重要。原因在于，在独立收益率的情况下，中心极限定理会发挥作用：随着周期数量的增加，多周期收益率开始接近于正态。
接下来，我们比较了不同的基金经理替换规则在一段时间内提高投资表现的能力。我们引入了一个框架来决定是否替换基金经理（或策略）。这个决定会导致两种错误: 类型I错误是错误地替换掉优秀的基金经理，类型II错误是没有解雇较差的基金经理。我们认为，更换基金经理的时机也很重要，因为较差的基金经理管理资产的时间越长，他们造成的伤害就越大。
研究结果表明，当基金经理的能力不变（但未知）时，基于总收益率的更换规则是首选，这是因为总收益率充分利用了所有可用的历史收益率数据。然而，当基金经理有可能随着时间的推移而丧失超越市场的能力时，基于回撤的更换规则更合适。在实践中，基金经理丧失超越市场的能力可能是由于市场的结构性变化、员工更替、对于已采用策略的竞争加剧（即拥挤），或基金规模过大（规模收益递减效应）。
使用基于回撤的规则更换基金经理，可以被视为不采取行动和立即替换基金经理之间的折中办法。然而，如果风险的减少没有被投资组合中其他部分的风险增加所补偿，他们通常会导致更低的预期收益率，除非基金经理的条件预期收益率（超过无风险利率的部分）变为负值。在这种情况下，基金经理实际上是在破坏价值（在这种情况下，立即替换似乎是更合适的方法），或者相信基金经理的收益率具有非常高的持久性，而之前的收益率是负的。
最后，本文总结了主要的研究结果，并讨论了选择基金经理或投资策略的五个要点。
本文没有研究回撤规则对基金经理行为的影响，但回撤规则的存在确实会导致基金经理做出不同的行为，因为没有基金经理想要被解雇。从这个角度来看，回撤规则可能被认为与波动率缩放有一些相似之处：对被解雇表现出行为厌恶的基金经理将会在临近回撤限制时降低风险。从这个角度来看，回撤规则可以被认为是“穷人的波动率缩放”。
2、回撤希腊字母
在本节中，我们将探讨达到某个回撤水平的可能性对关键驱动因素（如夏普比率、评估时间窗口、收益的自相关性）的敏感性。借用期权定价理论中的术语，我们将这种敏感性称为“回撤希腊字母”（drawdown Greeks）。
2.1
最大回撤的概率分布
我们假设月度收益率满足正态独立同分布（i.i.d.）。在图表1中，我们展示了基准案例的最大回撤的概率分布，在基准案例中，我们设年化波动率为10%，年化夏普比率为0.5，窗口期为10年。在评估时间窗口内，进行10万次月度收益率的模拟，来计算最大回撤的概率分布。
我们用竖线来表示数值为1、2、3、4倍年化波动率（即sigma）的最大回撤，分别对应-10%、-20%、-30%和-40%的回撤水平。达到该水平或更差的最大回撤的概率等于对应垂直线左侧的曲线下的面积。达到1、2、3、4倍标准差的最大回撤的概率分别为97.1%、43.0%、9.9%和1.5%。因此，即使年化夏普比率达到了0.5，在10年期间，也有几乎一半的案例达到了2倍标准差的回撤（即-20%）。每10个案例中就有1个达到了3倍标准差的回撤（即-30%）。
2.2
没有高阶影响的回撤希腊字母
接下来，我们考虑相对于基准假设的偏差如何影响达到回撤水平的概率。图表2展示了改变假设的情况下，达到给定最大回撤水平的概率的变化情况。对应的修改的假设分别为：
面板A：年化波动率，基准为10%;
面板B：时间窗，基准为10年；
面板C：年化夏普比率，基准为0.5;
面板D：自相关性，基准为0。
在面板A中，我们展示了在保持夏普比率不变的情况下，当改变收益率标准差时，达到给定最大回撤的概率将如何变化。橙色的线代表了最大回撤达到-2倍标准差的概率。在基准情况下（用垂直虚线表示），最大回撤达到-2倍标准差的概率为43%（参见附录1的讨论）。橙色的线是接近水平的，这意味着，只要夏普比率保持不变且阈值以标准差的倍数表示，改变收益率标准差对达到某一最大回撤水平的概率几乎不会产生影响。也就是说，假设夏普比率固定为0.5，如果标准差为10%时最大回撤达到20%的概率为m%，则当标准差为5%时最大回撤达到10%的概率也近似为m%（假设两者的夏普比率都是0.5的情况下，预期收益率也会随着波动率的增加而增加）。橙色的线几乎是水平的，但不完全是水平的，事实上它平缓地向下倾斜，反映了收益率复合的影响。
在面板B中，我们说明了改变时间范围的影响。基准案例的时间范围为10年。当在较长的窗口内评估时，达到某个回撤水平的概率自然会增加。
在面板C中，我们在保持收益标准差不变的情况下改变了夏普比率。在基准案例中，年化夏普比率为0.5。夏普比率对达到某个最大回撤水平的概率影响很大，这是很直观的，因为夏普比率反映了脱离困境的能力。使用回撤规则的投资者希望的正是这种效果——低夏普比率的基金经理将因该规则的存在而被淘汰。
我们说明了月收益的自相关范围从-0.1到0.1的影响。我们认为-0.1到0.1的自相关性是一个合理的范围，因为它意味着可预测性的可测量度。月收益的自相关性为0.1对预期最大回撤的影响（相对于基准值0）与夏普比率从0.5降低到0.4的影响是相似的。
2.3
自助抽样法（Bootstrap）下的美国股市收益率
接下来，我们从1926年以来的美股月度收益率中，采用自助抽样法（Bootstrap），多次抽取两年时长的数据。我们对月度收益率进行了缩放，使其无条件波动率为10%。使用实际收益率使我们能够确定结论与之前模拟的正态分布收益率下的结论是否相同。之所以选择多段时长为两年的数据，而不是单月的数据，是为了保留原始的时间序列结构。
在图表3的面板A中，我们保持夏普比率为常数0.5（通过适当调整平均收益率），展示了达到最大回撤的概率对时间窗口的敏感性。在图表3的面板B中，我们保持时间窗口为10年，展示了达到最大回撤的概率对夏普比率的敏感性。因此，这些图可以与图表2中的面板B和面板C进行直接比较，在这些面板中我们使用正态独立同分布进行模拟。
当窗口期为10年且夏普比率为0.5时，我们有43%的概率达到2 倍标准差的回撤（见图表2中模拟收益率下的基准情况）。如图表3所示（见虚线与橙色线的交叉点），自助法抽样下的实际收益使此概率增加到55%。达到回撤水平的可能性增加，是源于月度收益率的非正态性和异方差性（即波动率聚类，clustering of volatility）。附录A对此进行了说明，比如波动率在1929年（大萧条）和2008年（全球金融危机）前后一直处于高位。
虽然非正态性和波动率聚类倾向于增加达到某个回撤水平的概率，但在正态（图表2）和非正态自助抽样（图表3）的情况中，概率对时间窗口和夏普比率的敏感性看起来非常相似。
2.4
跳空风险的影响
金融市场可能会经历突然的大幅下跌，而这种量级的负收益率在正态分布的假设下是难以置信的。比如在2020年3月，就有一个Corona Crash事件的例子。也就是说，市场可能会经历一个向下的跳空缺口。为了说明这一点，我们在附录B中列出了一系列证券表现最差的负月度收益率（展示在最后一列中）。我们发现在25到50年的可用历史中，现有的最差的月收益率相当于-1到-1.5倍年度标准差（对应于3.5到5.2倍月度标准差）。
我们将探讨每月有1%的概率（平均每8.3年发生1次）变动-k倍年化波动率，对预期最大回撤的影响。在其他99%的情况下，我们调整了收益率，使平均收益率保持不变，同时改变跳空缺口的大小。换句话说，当我们继续假设收益率为独立同分布时，有如下的分布：
在图表4中，我们改变了跳空缺口的大小（以上公式中的k）。基准案例相当于k = 0的情况。要注意k = 1时跳空缺口已经是一个很大的值了。在附录B中，最大的月度跌幅通常大于1倍标准差，但这对应于25至50年的窗口期，而不仅仅是10年。尽管大幅回撤的概率确实随着跳空缺口概率的增加而增加，但对于k = 1（月变动等于1倍的年化波动率，或3.5倍的月度波动率）来说，影响是有限的。我们认为这是很直观的，因为这样的移动不会立刻导致-2倍标准差的回撤限制。此外，夏普比率等中长期回报的驱动因素，仍是达到某一回撤的概率的关键驱动因素。
3、基金经理替换规则
在选择基金经理时，投资者对于基金经理的能力有相当大的不确定性。此外，在投资之后，由于投资风格的拥挤、基金规模过大、宏观经济环境不佳等原因，基金经理的能力可能会下降。这就提出了如何处理如图表5所示的情况的问题，在这种情况下，基金经理的总回报看起来相当健康，但最近的回撤看起来令人担忧。是发生了一些变化吗？难道基金经理从一开始就是能力差的么？
为了应对对基金经理质量的不确定性，投资者需要用一个框架来决定是否替换基金经理。否则，行为偏差会导致非最优决策，例如Goyal和Wahal（2008）表明，投资者通常会过快地更换基金经理。
为了说明所涉及的关键考虑，我们在本节中使用了一种程式化的设置，包括两种类型的基金经理:
• 优秀的基金经理：（预期）夏普比率为0.5的基金经理。
• 较差的基金经理：（预期）夏普比率为0的基金经理。
我们试图解答的核心问题是，哪种业绩统计数据对于决定是否更换基金经理最有帮助。我们将首先讨论一个具有单一决策时刻的场景，这种情况下问题可以简化为：基于不同的统计数据，鉴别优秀和较差的基金经理的有效性如何。接下来，我们探索了一个更丰富的场景，每月决定是否替换一名基金经理。在这种情况下，发现并更换较差基金经理的速度也很重要。在本节的最后一部分，我们将介绍时变回撤阈值，这会更加复杂，但更适合这种情况。
3.1
十年观察期结束时的分类
更换基金经理的决定将会出现两类错误：
• 类型I错误：错误地更换掉了优秀的基金经理；
• 类型II错误：没有换掉较差的基金经理。
在图表6中，我们在10年观察窗口中，分别应用以下三个规则，在这两类错误之间进行权衡：
1. 10年内的总收益率
2. 第10年末时的回撤水平
3. 10年期间的最大回撤
图表6中的每个点对应于各自统计量的不同临界值。菱形表示使用-10%（-1倍年化波动率）作为每个统计数据的临界值的情况。
在图表6的面板 A中，我们假设基金经理池由50%的优秀基金经理（夏普比率为0.5）和50%的较差基金经理（夏普比率为0）组成，收益率为正态独立同分布，年化波动率为10%。因此，优秀基金经理和较差基金经理的平均年化收益率分别为5%和0%。另外，我们假设基金经理是固定的类型，不会发生转变。在图表6的面板 A中，相对于基于回撤的分类规则，基于总回报的分类规则对应的曲线更加接近原点，这表明基于总回报的分类规则可以在类型I错误-类型II错误之间产生更好的权衡。这一结果不足为奇，因为基金经理收益率分布中唯一未知的是平均收益率。已实现的平均收益率（或总收益率）是一个充分统计量，对于所有历史收益率使用相等的权重。相比之下，回撤统计数据基于最高点与最低点价格，是一个关于历史回报的复杂的、路径依赖的函数。
在图表6的面板B中，我们假设所有的基金经理一开始都是优秀的，但随着时间的推移，他们会以每月固定的速度变差。假设每月的变化率为0.5%，这意味着10年后，大约45%的基金经理会从优秀转变为较差。这些假设的动机是：在实践中，由于市场的结构性变化、采用策略风格的竞争加剧（拥挤）、人员流动、或基金规模过大，基金经理或策略可能会从优秀转向较差。在面板B中，基于回撤和基于总收益的分类规则同样有效，这与面板A（固定基金经理类型的情形）有很大的不同，在固定基金经理类型的情况下，基于总收益的规则效果更好。在面板B中，基于回撤的规则具有不错的效果，这一现象是可以解释的，因为基于回撤的规则更强调近期历史，因此更适合于基金经理由优秀变差的情况。
从图表6中可以看出，-10%的临界值（即负1倍标准差）会导致非常不同的类型I误差值（由图中的大菱形表示）。例如，回撤水平达到-10%比总回报达到-10%更常见。事实上，每次总收益率达到-10%时，回撤也至少要达到-10%。反之则不成立。
为了进一步对比，我们在给定的隐含更换概率下（图表7第一列），给出了三种规则下的类型I和II的错误率，结果展示在图表7中。在同一行中，不同规则具有不同的临界值，但是对应同样的更换概率（即达到该临界值的概率）。与图表6的面板A一致，我们发现基于总回报的规则是最有效的，因为它的类型I错误率较低（很少有优秀的基金经理被错误地识别为较差的基金经理）。
3.2
月度评估
实际上，更换基金经理的决定不是在长时间观察窗口结束时做出的，而是断断续续的。例如，一些由多个基金经理共同管理的对冲基金会明确规定基金经理被解雇的回撤水平。有趣的是，基金公司通常使用恒定的临界值，而不是在基金经理管理较长时间后允许其有更大的回撤。其原因可能是行为上的，也就是说，无论基金经理的任期长短，该规则旨在改变基金经理的行为。还有一种可能是，确定哪些基金经理始终是优秀的，并使用回撤规则识别变差的基金经理，这具有一定难度。在本小节中，我们将遵循这一实践，并假定临界值恒定。在下一小节中，我们将对常数回撤规则和时变的回撤规则进行对比。
具体地说，我们假设一位投资者在10年的时间里，每月对基金经理进行一次评估。在图表8中，我们比较了使用总回报规则和最大回撤规则来更换基金经理的效果，我们对基金经理类型的假设与图表6中的假设相同。在面板A中，基金经理类型维持不变（50%是优秀的基金经理，50%是较差的基金经理），而在面板B中，所有基金经理以恒定速率从优秀转变为较差。更换基金经理意味着从同一经理池中挑选一位新的基金经理。
在每月评估的情况下，仅仅比较类型I和类型II的错误率是不够的，替换掉较差的基金经理的速度也很重要。因此图表8展示的是当基金经理在达到阈值时就被替换的情况。
替换基金经理可能代价高昂，例如需要对新的基金经理进行尽职调查，涉及法律费用，并需要重新设定对冲基金费用的高水位线（high-water mark）。因此，在图表8中，我们将夏普比率表示为10年内平均更换次数的函数, 绘制了对应的图像。具体来讲，我们通过改变临界值，得到夏普比率与平均更换次数的不同组合，并绘制在图表8中。
根据图表8的面板A，在固定基金经理类型的情况下，基于总收益的规则比基于回撤的规则要好一些。这与图表6的面板 A一致。因此，我们可以直观地看出总回报是估计基金经理平均收益率的有效统计量，而回撤统计量依赖于路径，在使用历史收益数据时浪费了部分数据。
根据图表8的面板B，在基金经理从优秀转变为较差的情况下，基于回撤的更换规则更有效，在更换次数一定的情况下，基于回撤的更换规则会导致更高的夏普比率。基于回撤的规则的优越性能是直观的：它能防止过大的突然下跌。
3.3
变化回撤阈值的每月评估
在实践中，即使达到回撤阈值的概率随着时间而增加（如图表2面板B所示），投资者也通常采用固定的回撤阈值。为了使更换率不随时间增加，我们考虑使用随时间增加的回撤临界值。具体来讲，对于不同的阈值k和月数t，临界值可以表示为：
使用平方根项的原因是累积收益的波动率倾向于近似地随着时间的平方根增长。我们取1和t/12的最大值，这样在第一年中阈值也不会很低。
图表9展示了在时变的回撤规则与之前考虑的常数规则下，10年中的夏普比率。和之前一样，替换意味着从固定拥有50%的优秀基金经理和50%的较差基金经理的经理池中选出一个新的经理。在替换次数一定的情况下，与时间相关的规则可以提供更好的业绩。然而，随着更频繁的替换，这种效应似乎会减弱，因为时间效应变得不那么重要。
图表10的面板A展示了平均每10年更换1次的情况下的固定回撤阈值和时变回撤阈值，图表10的面板B展示了平均每10年更换2次的情况下的固定回撤阈值和时变回撤阈值。时变规则从一个较小的回撤阈值开始，但在更长的时间范围内它不会那么严格。这更符合随时间增加的给定水平回撤概率（见图表2，面板B）。
4、基于回撤的风险降低规则
在上一节中，我们考虑了替换基金经理的规则。回撤规则的另一个常见应用是使用它们首先减少分配给基金经理的风险（即减少投资于基金经理的部分资金），同时继续评估后续绩效。
在图表11中，我们展示了基于回撤的规则的影响，在该规则中，如果回撤下降到一个临界值以下，就会触发50%的风险降低（即收回50%的资金）。如果基金经理能收回一半的损失，则重新让基金经理承担原始的全部风险（即将收回的50% 的资金重新投资于基金经理；之所以选择在收回一半损失的时候重新让基金经理承担原始的全部风险，是因为如果之前风险没有减少一半，此时基金经理就已经可以收回从最高点到最低点的损失）。我们使用不同的临界值，将夏普比率、年化收益率和年化波动率分别作为y轴，将10年中至少出现一次风险降低的概率作为x轴，绘制在图表11中。在这样的风险降低规则下，夏普比率略有提高，但年化收益率较低。这或许是显而易见，因为在触发降低风险的时候，很可能基金经理还是优秀的（夏普比率为0.5）。
这个例子表明了风险降低规则可能只会减少风险而不会提高年化收益率，除非投资者在投资组合的其他地方承担风险。当然，如果基金经理池有限，或者聘用新基金经理需要成本，这样的规则就可能会起到实际作用。
对于降低风险方法，为了能提高平均收益率，条件预期收益率必须为负。如果有很大的机会使基金经理的夏普比率为负，则可能会发生这种情况，但是这似乎有点困难，因为这需要负技能或非常高的交易成本。另一种选择是具有非常高的自相关度的设置，当已实现的负收益之后，期望收益可能为负。
5、五个关键结论
应当如何根据回撤数据更换投资经理呢？关于这个问题，本文提供了五个主要结论。
第一，了解统计数据。最大回撤是很容易计算，但是很难估计达到某一回撤水平的概率。因此，本文提出了如何根据给定的收益分布来设置合理的回撤限制。
第二，预先设定的回撤规则可以防止承担过高的风险。相对于更稳定的风险承担（保持长期波动不变），在突发事件中承担风险（导致异方差或峰态收益）将增加达到某个回撤水平的可能性。因此，清楚地传达回撤的限制可以激励基金经理随着时间的推移承担更大的风险。此外，在给定的回撤水平上的自动减少配置可以减少trader put的不良行为的机会（即当收益下降时，基金经理增加风险以获得最大的恢复机会），由于有限责任的性质，进一步的损失不会给基金经理带来更大的痛苦。同样地，只有在高波动率的情况下，深度虚值看跌期权才非常有价值。
第三，考虑类型I错误和类型II错误的相对成本（见Harvey和Liu 2020）。如果雇佣一个基金经理的成本较高，那么类型I错误（解雇优秀的经理）的成本很高。如果较差的基金经理只是在分散的投资组合中加入噪音（夏普比率为0），并且如果有充足的现金，一些类型II错误（保留一个较差的基金经理）可能不会造成那么大的损失。然而，如果较差的基金经理夏普比率为负（例如因为交易成本或者因为他们无意中与精明的投资者进行了交易），那么类型II错误就更值得关注。考虑类型I和类型II错误的成本对更换基金经理来说至关重要。
第四，同时考虑总回报数据和回撤数据。总回报（或夏普比率）规则适用于衡量基金经理创造正回报的稳定能力。另一方面，基于回撤的规则更适合处理基金经理突然失去能力的情况。实际上，这两者是互补的；总回报与回撤的相对权重，关键取决于对优秀基金经理转变为较差基金经理的可能性的评估。显然，其他暗示基金经理质量可能恶化的标准（例如换手率、资产快速增长、秘密技能的公布）可能提供一个警告，即投资者应该开始更加重视回撤统计数据。
第五，考虑时变的回撤规则。即使基金经理仍然保持同一类型，达到一定的回撤水平的概率也会随着时间的推移而增加。但在实践中回撤限制通常设置为一个常数（不随时间变化）。因此可以设置时变的回撤规则，这虽然增加了一些复杂性，但是可以提升效果。
附录A：美国股票的异方差性
在图表12中，我们展示了1926年6月至2019年12月美国股票回报的月度收益率（面板A）和12个月滚动波动率。波动性在1929年（大萧条）和2008年（全球金融危机）前后持续处于高位。
附录B：历史上的跳空缺口
在图表13中，我们列出了一系列证券的最差月度收益率。
参考文献
[1] Bailey, D., and M. López de Prado. 2015. “Stop-Outs under Serial Correlation and the Triple Penance Rule.” Journal of Risk 18 （2）: 61–93.
[2] Bordalo, P., N. Gennaioli, and A. Shleifer. 2012. “Salience Theory of Choice under Risk.” Quarterly Journal of Economics 127 （3）: 1243–1285.
[3] Busseti, E., E. Ryu, and S. Boyd. 2016. “Risk-Constrained Kelly Gambling.” The Journal of Investing 25 （3）: 118–134.
[4] Carr, P., H. Zhang, and O. Hadjiliadis. 2011. “Maximum Drawdown Insurance.” International Journal in Theoretical and Applied Finance 8 （14）: 1195–1230.
[5] Casati, A., and S. Tabachnik. “The Statistical Properties of the Maximum Drawdown in Financial Time Series.” Working paper, 2012.
[6] Chekhlov, A., S. P. Uryasev, and M. Zabarankin. 2005. “Drawdown Measure in Portfolio Optimization.” Interna¬tional Journal of Theoretical and Applied Finance 8 （1）: 13–58.
[7] Cvitanic, J., S. Kou, X. Wan, and K. Williams. “Pi Portfolio Management: Reaching Goals While Avoiding Drawdowns.” Working paper, 2019.
[8] Douady, R., A. Shiryaev, and M. Yor. 2000. “On Prob¬ability Characteristics of Downfalls in a Standard Brownian Motion.” Theory of Probability and Its Applications 44: 29–38.
[9] Efron, B., and R. Tibshirani. 1986. “Bootstrap Methods for Standard Errors, Confidence Intervals, and Other Measures of Statistical Accuracy.” Statistical Science 1 （1）: 54–75.
[10] Goyal, A., and S. Wahal. 2008. “The Selection and Termi¬nation of Investment Management Firms by Plan Sponsors.” The Journal of Finance 63 （4）: 1805–1847.
[11] Grossman, S. J., and Z. Zhou. 1993. “Optimal Investment Strategies for Controlling Drawdowns.” Mathematical Finance 3 （3）: 241–276.
[12] Hadjiliadis, O., and J. Vecer. 2006. “Drawdowns Preceding Rallies in a Brownian Motion Model.” Quantitative Finance 5 （6）: 403–409.
[13] Harvey, C. R., E. Hoyle, R. Korgaonkar, S. Rattray, M. Sar¬gaison, and O. Van Hemert. 2018. “The Impact of Volatility Targeting.” The Journal of Portfolio Management 45 （1）: 14–33.
[14] Harvey, C. R., and Y. Liu. 2020. “False （and Missed） Dis¬coveries in Financial Economics.” The Journal of Finance （forthcoming）.
[15] Kaminski, K. M., and A. W. Lo. 2014. “When Do Stop-Loss Rules Stop Losses?” Journal of Financial Markets 18: 234–254.
[16] Korn, O., P. M. Möller, and C. Schwehm. “Drawdown Mea¬sures: Are They All the Same?” Working paper, 2020.
[17] Leal, R. P. C., and B. V. de M. Mendes. 2015. “Maximum Drawdown: Models and Applications.” The Journal of Alterna¬tive Investments 7 （4）: 83–91.
[18] Magdon-Ismail, M., A. Atiya, A. Pratap, and Y. Abu-Mostafa. 2004. “On the Maximum Drawdown of a Brownian Motion.” Journal of Applied Probability 41 （1）: 147–161.
[19] Molyboga, M., and C. L’Ahelec. 2017. “Portfolio Manage¬ment with Drawdown-Based Measures.” The Journal of Alter¬native Investments 19 （3）: 75–89.
[20] Sornette, D. Why Stock Markets Crash: Critical Events in Com¬plex Financial Systems. Princeton: Princeton University Press, 2003.
[21] Thaler, R., and E. Johnson. 1990. “Gambling with the House Money and Trying to Break Even: The Effects of Prior Out¬comes on Risky Choice.” Management Science 36 （6）: 643–660.
[22] Vecer, J. 2006. “Maximum Drawdown and Directional Trading.” Risk 19 （12）: 88–92.
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成， 在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
海外文献推荐系列第八十八期：基于核PCA的动态市场风险信号研究
海外文献推荐系列第八十七期：利用下行波动率管理投资组合
海外文献推荐系列第八十六期：基于债券市场风险因子分析投资经理业绩
海外文献推荐系列第八十五期：基于高阶矩的风险平价方法
海外文献推荐系列第八十四期：共同基金的拥挤投资对股票收益的影响
海外文献推荐系列第八十三期：无处不在的因子动量
海外文献推荐系列第八十二期：如何设计价值投资策略
海外文献推荐系列第八十一期：基于市场转换的资产配置VS静态资产配置：让数据说话
海外文献推荐系列第八十期：对债券业绩归因模型的探索
海外文献推荐系列第七十九期：基于分层聚类的资产配置方法
海外文献推荐系列第七十八期：归因——事前和事后归因的统一框架
海外文献推荐系列第七十七期：投资组合因子配置——不仅仅是资产配置
海外文献推荐系列第七十六期：因子择时
海外文献推荐系列第七十五期：基于非参数的状态识别与预测
海外文献推荐系列第七十四期：共同基金投资者是否会高估基金极端正收益发生的概率？
海外文献推荐系列第七十三期：基于尾部风险和相关性的动态资产配置
海外文献推荐系列第七十二期：信号加权
海外文献推荐系列第七十一期：资产配置与因子配置——是否可以建立一个统一的方法?
海外文献推荐系列第七十期：从因子到资产：将因子暴露映射到资产配置
海外文献推荐系列第六十九期：如何克服海量因子库难题？—新因子的检验方法
海外文献推荐系列第六十八期：如何根据不同的经济环境进行资产配置？
海外文献推荐系列第六十七期：最差时期的最佳策略：投资组合能否抵御危机？
海外文献推荐系列第六十六期：基于市场状态转换的动态资产配置
海外文献推荐系列第六十五期：提升因子模型的定价能力
海外文献推荐系列第六十四期：盈余公告后漂移中的价格跳跃
海外文献推荐系列第六十三期：基于参数化策略的因子测试框架
海外文献推荐系列第六十二期：预测股票市场收益：分项加总的效果优于整体
海外文献推荐系列第六十一期：基于共同基金业绩分析羊群行为能否展示基金经理能力
海外文献推荐系列第六十期：基于预期收益的风险平价模型的构建与改进
海外文献推荐系列第五十九期：基于机器学习方法的宏观因子模拟投资组合构建
海外文献推荐系列第五十八期：现金指标是否比利润指标更能预测收益？
海外文献推荐系列第五十七期：如何将因子信息融入到指数基金和主动基金之中
海外文献推荐系列第五十六期：全球区域配置框架：构建全球FOF型ETF
海外文献推荐系列第五十五期：基于宏观经济因子的战术资产配置
海外文献推荐系列第五十四期：公司治理、ESG与全球股票收益关系
海外文献推荐系列第五十三期：协方差矩阵预测方法的比较
海外文献推荐系列第五十二期：如何有效利用ESG数据构建Smart Beta指数
海外文献推荐系列第五十一期：风险轮动中的风险规避
海外文献推荐系列第五十期：基于风险溢价的投资组合—一类风险分散的新方法
海外文献推荐系列第四十九期：横截面收益中的稀疏信号研究
海外文献推荐系列第四十八期：基于机构投资者交易情绪的动态资产配置研究
海外文献推荐系列第四十七期：主动投资中的 Timing 与 Sizing
海外文献推荐系列第四十六期：市场对称性及其在组合选择中的运用
海外文献推荐系列第四十五期：股票、债券和因果关系
海外文献推荐系列第四十四期：如何确定股票的联动效应？基于网络模型的择时研究
海外文献推荐系列第四十三期：ESG投资基础：ESG对股票估值、风险和收益的影响研究
海外文献推荐系列第四十二期：使用机器学习方法预测基金持
海外文献推荐系列第四十一期：防御性宏观因子择时研究
海外文献推荐系列第四十期：股票收益的周内效应研究
海外文献推荐系列第三十九期：战术性资产配置的宏观经济仪表盘
海外文献推荐系列第三十八期：宏观量化投资新基础
海外文献推荐系列第三十七期：如何预测中国股市的下行拐点
海外文献推荐系列第三十六期：行业分类方法重构的有效性研究
海外文献推荐系列第三十五期：目标波动性策略最优性研究
海外文献推荐系列第三十四期：价值投资、成长投资的基本原则及“价值陷阱”的解释
海外文献推荐系列第三十三期：因子溢价与因子择时-跨越世纪的实证结果（二）
海外文献推荐系列第三十三期：因子溢价与因子择时-跨越世纪的实证结果（一）
海外文献推荐系列第三十二期：构建纯多头多因子策略：投资组合合并与信号合并
海外文献推荐系列第三十一期：如何对分析师预期数据进行建模?-基于贝叶斯方法的研究
海外文献推荐系列第三十期：什么是质量因子
注：文中报告节选自兴业证券经济与金融研究院已公开发布研究报告，具体报告内容及相关风险提示等详见完整版报告。
证券研究报告：《西学东渐--海外文献推荐系列之八十九》。
对外发布时间：2020年8月13日
报告发布机构：兴业证券股份有限公司（已获中国证监会许可的证券投资咨询业务资格）
--------------------------------------
分析师：徐寅
SAC执业证书编号：S0190514070004
电话：18602155387,021-38565949
E-mail: xuyinsh@xyzq.com.cn
--------------------------------------
