读这本书的本意是了解一下数学到底是什么。学生时代学了这么多年的数学，关于数学到底是什么这个问题，还是无法回答。这本书给了我答案。
全书只是粗略的看了一下，书中用于举例的数学定理的证明我大部分略过，有些是因为看不懂，有些是因为没耐心看下去。可是这并不影响我对本书的理解，晦涩的证明过程也没有减弱我对本书的兴趣。
读完本书，收获满满。尤其里面关于数学教学的一些建议非常有用，以后可以和孩子讨论一下。读书笔记和感想记录如下：
一、关于数学精神1、如何把实际问题提炼为数学问题并解决。
哥尼斯堡七桥问题为例，首先是简化问题， 把实际问题的自然语言表述，转化为数学语言的表述。然后是寻找解决方法，从简单的情形开始，总结规律。然后是 研究的推进，总结出定理。具体应用是“一笔画图”的有趣题目。
2数学精神到底有哪些？
- 应用化的精神
- 扩张化、一般化的精神
数学概念的一般化；函数概念的一般化；数学定理法则的一般化；数学分支的一般化。
- 组织化、系统化的精神
- 研究精神，致力于发明、发现的精神
书本只告诉我们结论，实际上发现的工程更有意义。这也是数学史的意义所在，也是看数学原著的意义所在。教学中，利用这种自然的发现的过程，启发式的教学，大有益处。
- 致力于统一性建设的精神
以数系的建设为例，如何构建整个数系，保持统一和严格。
- 严密化的精神
实际上，数学的严密性是不断发展的，以前曾经认为的严密证明现在看来有漏洞，现在的严密也肯能在以后会发现漏洞。这里需要重点说明：作为教学的数学和作为科学的数学是有区别的。
虽然严密行对数学至关重要，但是教学中应当首要考虑到学生领悟发明、发现、研究的精神方法，并以启发、培养这种精神为主。
- “思想经济化”的精神
就是说，数学是从最简单的几个事实，加上基本的罗辑思维，推导出新的事项。数学体系的构建不允许有逻辑的跳跃，不允许有模棱两可的事项，所以没有性质上难以理解的东西。所以数学有两大特征：
第一个是数学需要循序渐进的学，不能跳跃。第二个是必须熟悉数学的术语和记号，这是数学的语言。
运用术语和记号进行复杂高难度的精神活动对人类发展非常重要。所以要对此进行专门的思维训练。
二、重要的数学思想数学的本质在于思考的充分自由
比如，负数，虚数的构建，就是为了让各种运算无限制地进行。比如，不断打破传统数学思想的限制。
极限思想
极限思想对于数学极端重要。比如微积分的构建，就是以此为基础。
“不定义的术语组”和“不证明的命题组”
以此发展起来的纯数学、公里数学，使数学给世人迄今对数学所持看法完全相反的印象。如罗素所说“数学工作者研究得到的定理，谁也不知道是真还是不真了”
构成现代数学基干的集合及群的思想
把有限长看做无限长的思想
凯莱以此在欧几里得空间建立的了非欧几里得空间。
庞加莱的非欧几里得空间
爱因斯坦把把我们的空间看做黎曼空间，创立了相对论
把一般的曲线看做直线的思想
高维空间的思想
超穷数的思想
无穷多个大小不同的超穷数
数学的神秘性和数学的美
重要的研究方法和证明方法教学中需要锻炼的思考方法：联想与所给问题的条件和问题要求密切相关的已知定理方法法则，并把问题归结与这些已知的定理法则。
论证方法的本质，推理方法
数学归纳法的本质：三段式论证法
排中律与数学中的悖论
数学变换与事物本质不变的形态
不能解决甲时，把它转换为求乙
数学基础方面发生了根本变化
- 传统数学主要是数与量
- 既非数也非量的数学
映射几何学：仅仅用点和直线的位置概念，利用截面和映射的概念建立的几何学
逻辑代数学：用a.b表示概念或命题。
群论
集合论
拓补学
- 即使是研究数与量，也有着与原来不一样的性质
非欧几里得几何学，非阿基米德几何学
数学发现的两大要素
- 纯数学和公理数学
- 辅助学科的发展
- 能看见隐藏在表面的上看来没有什么联系的问题之间的关系
天才就是能够胜任无限辛劳的能力
庞加莱详细说明了什么样的人可以有数学发现。发现创造的素质，不仅在数学上，而且在一般学科技术和艺术上都是应该视为同一范畴的东西。
爱迪生和歌德的例子说明了自然科学和艺术，以及数学，如果做出成就，需要同样的素质。
文中还介绍了数学里的悖论和一些学术上的内容，看不懂，不再细说。
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