我们都知道，几何学尺规作图有三大至今无解的著名难题，这三大难题就是：
①三等分角：将给定角分成三个相等的角问题；
②倍立方体：求一体积为已知立方体体积两倍的立方体的边长；
③化圆为方：求与给定圆面积相等的正方形问题。
其中化圆为方问题一直颇受争议，既然我们可以作出一条长度为无理数√2的线段，为什么我们就不能作出长度为无理数π的线段呢？
为了解决化圆为方问题，众多数学家为之付出了很多努力，竟无一人能够成功。最终数学家们开始思考一个全新的问题：也许化圆为方问题本身就是不可解的？
化圆为方
古希腊数学家希波克拉底曾提出过一个看似能够解决化圆为方问题的月牙定理。
如图所示：月牙定理
两个月牙面积之和等于直角三角形面积。
S2 S3=S1
月牙定理
这个定理的证明很简单，我讲一下思路。
证明：假设月牙S2所对白色弓形面积为(S2)′，月牙S3所对白色弓形面积为(S3)′。
首先由勾股定理可得：
(AC)^2 (BC)^2=(AB)^2
以AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为：
S(AC)=π×(AC/2)^2/2=π(AC)^2/8
S(BC)=π×(BC/2)^2/2=π(BC)^2/8
S(AB)=π×(AC/2)^2/2=π(AB)^2/8
所以有
S(AC) S(BC)
=π(AC)^2/8 π(BC)^2/8
=π[(AC)^2 (BC)^2]/8
=π(AB)^2/8
=S(AB)
S(AC) S(BC)=S(AB)
在等式两边同时减去(S2)′ (S3)′
[S(AC) S(BC)]-[(S2)′ (S3)′]
=S(AB)-[(S2)′ (S3)′]
[S(BC)-(S2)′] [S(AC)-(S3)′]
=S(AB)-[(S2)′ (S3)′]
S2 S3=S1，证毕！
月牙定理是将两个月牙形的面积和化为一个直角三角形面积，而三角形面积化为正方形面积是可行的。所以，月牙定理本质上是解决了化月牙为方的问题。
看上去，我们离最终解决化圆为方问题只差最后一小步了。只要我们能够解决化月牙为圆的问题，就彻底解决了化圆为方问题。
然而，最后的这一小步却是无法跨越的。我们根本就无法解决化月牙为圆的问题。月牙和圆看上去有些相似，都有圆弧，但两者在本质上是完全不同的。
最后我们来回答一开始提出的问题：
为什么我们可以作出一条长度为无理数√2的线段，但我们却不能作出长度为无理数π的线段呢？
因为无理数√2是一个代数数，而无理数π是一个超越数。
所谓代数数是指任何整系数多项式方程的复根；所有不是代数数的复数称为超越数。
由于√2是方程x^2-2=0的根，所以√2是一个代数数。
而圆周率π不是任何整系数多项式方程的复根，所以π是超越数。
刘维尔超越数
由于尺规作图只能作出长度为代数数的线段，而不能作出长度为超越数的线段，所以我们永远也无法化圆为方。也就是说，化圆为方问题是无解的。
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