看了在《今日头条》上发布的关于《空间群国际符号》一文的展现，阅读和相关数据后，感觉效果还可以，有的朋友有这个需要，促使作者继续写《晶体的宏观对称性》。
在日常生活中，大家知道对称性，常接触到的是对称面和对称心。晶体的对称性要比上述的多。常见的例子也有一些。如完整雪花，具有6次对称性，源于冰的晶体结构具有6次对称性。雪花主枝间角距离是60度，主枝与侧枝之间夾角也是60度。以前食用的大粒盐呈立方体颗粒，面、角、棱、顶都各自有对称性。有对称心，对称面，3次对称，4次对称。粒状单晶冰糖，呈现晶体结构对称性很显明，成为带有特定对称切面的单斜晶系晶胞形状。天然宝石（指金刚石）等价的面、棱、角，顶各自都有对称性，例如三角正方的十四面体，有对称心，对称面，3次对称，4次对称。既使加工成珠宝工艺品也是沿对称关系加工，使其光彩夺目。单晶体在性能上，包括力、电、光、声等各种性能各向异性，且具有和形状相一致的对称性。这就是晶体的宏观对称性。宏观对称性产生根源是晶体结构的微观对称性，是晶体结构微观对称性在宏观显现。但有区别，前者是一块晶体的对称性，即单晶对称性。后者是具有周期性晶体结构的对称性，因为晶体结构具有周期性，旋转轴可以伴随平移，形成螺旋轴。对称面可以伴随平移形成滑移面。本文只讲宏观对称性。这种对称性不会有平移，但不同对称要素可以相交于一点，形成点群。
晶体结构的微观对称性，被事实所验证被数学所证明，由于晶体结构的周期性，即平移性，对应着晶格，晶体结构中可允许存在的对称性是特定的，只能是1次、2次、3次、4次、6次对称性，没有5次和6次以上的对称性。就是说5次和6次以上的对称性和周期性即平移性相矛盾，是不能存在的。既然宏观对称性是微观对称性宏观显现，同样原因，单晶体没有5次和6次以上的宏观对称性。
晶体宏观对称要素有两大部分。一部分是旋转轴，另一部分是旋转反演轴，即旋转同时伴随反演。强调一句，不是旋轴轴加反演。
旋转轴
旋转轴对称要素和对称操作不用图了，读者也能理解。
1次旋转轴。设定一点，用逗号代表（以下同）。这个点可以代表晶体的面、棱、角，直至任何一点。绕轴旋转360度后回到原位，即起始的逗号，逗号尾巴方向与起始完全相同。用通俗话说就是没有对称性，等效点是1个。1次旋转轴的国际符号就是“1”。
2次旋转轴，对称操作还是以逗号为起始点，绕旋转轴旋转180度后遇到同样的一个尾巴方向完全相同的另一个逗号，再转180度回到起始点。2次旋转轴分布着具有2次轴对称关系的两个等价点，国际符号为“2”。
3次旋转轴，对逗号进行旋转操作，绕旋转轴转120度后，遇到与第一个方向形状相同的第2个逗号。再转120度，对起始点来说转过240度，又遇到完全相同的第3个逗号。再转过120度回到起始点。3次旋转轴的等价位置分布着3个具有3次对称关系的等价点，国际符号为“3”。
同样，4次旋转轴和6次旋转轴也作如上表述。不同的是4次旋转轴每次转角90度，360度分布着具有同样形状和方位的4个等价点。而6次旋转轴每次旋转60度，360度分布着6个同样的等价点。4次和6次旋转轴国际符号分别用“4”和“6”表示。
旋转反演轴
旋转反演轴描述比较麻烦，必须用图。读者也会感觉麻烦，可试试，不看文中叙述，直接看图，就当游戏，看懂就可以了。作者还是必须叙述。仍然以逗号表示具有对称关系等价点。
1次旋转反演轴，使逗号绕轴旋转360度，回到原位，不停，继而对轴上某一点作反演操作，如图1所示。
图（1），1次旋转反演轴即对称心示意图
即从点1反演到点2。1次旋转反演轴等价于对称中心。有两个互为反演关系的等价点，对称心在两点连线中点。1次旋转反演轴国际符号用（-1）表示（标准写法是一扛打在1的头顶上，以下同。），对称心惯用符号以C表示。
2次旋转反射轴。如图（2）所示。
图（2），2次旋转反演轴即对称面操作图
起始点1旋转180度到点2位置，不停，继而反演到点3位置，遇到与点1位置具有反映关系的第2个逗号。再旋转180度，到4位置，不停，反演回到1位置，完成2次旋转反演轴操作。从图中可以看到，2次旋转反演轴等价于对称面。形成互为反映关系的两个等价点。对称面国际符号用m表示。
3次旋转反演轴。如图3所示
图（3），3次旋转反演轴对称操作示意图
从点1始，绕轴旋转120度，到5位置，不停，对反演中心反演到2位置，遇到第2个逗号。再旋转120度，到6位置，不停，对反演中心反演到3位置，遇到第3个逗号。再旋转120度，到1位置，不停，对反演中心反演，到点4位置，遇到第4个逗号。再旋转120度到2的位置，不停，对反演中心反演到5位置，遇到第5个逗号。再旋转120度到3位置，不停，对反演中心反演到6的位置，遇到第6个逗号。继续上述操作，经4位置回到1位置，完成3次旋转反演轴对称操作。3次旋转反演轴有6个等价点。国际符号为（-3）。
4次旋转反演轴，如图（4）所示。
图（4），4次旋转反演轴对称操作图
起始逗号1，旋转90度，到2的位置，不停，继而过对称心反演到3的位置，遇到具有反演关系的第2个逗号。再旋转90度到4的位置，不停，继而过对称心反演到5的位置，遇到第3个逗号。再旋转90度，到6位置，不停，过对称心反演到7的位置，遇到等4个逗号。继续旋转90度经8位置反演回到1位置，完成4次旋转反演轴对称操作。4次旋转反演轴有4个等价点。国际符号用（-4）表示。
6次旋转反演轴，如图（5）所示。
图（5），6次旋转反演轴对称操作图
6次旋转反演轴对称操作，从逗号1开始，旋转60度，到2的位置，不停，作对称心反演到3的位置，遇到第2个逗号。再绕轴旋转60度到4的位置，不停，反演到5的位置遇到第3个逗号。再旋转60度到6的位置，不停，反演到7的位置，遇到第4个逗号。再旋转60度到8的位置，不停，反演到9的位置遇到第5个逗号。再旋转60度到10的位置，不停，反演到11位置遇到笫6个逗号。接着再旋转60度，继而反演，回到起始点1的位置，完成6次旋转反演轴对称操作。有6个等价点。上面3个尾巴朝上的逗号与下面3个尾巴朝下的逗号，等价于以对称面操作的反映关系。如图（5）中所示对称面。从图中的对称关系还可以看出，上面3点与下面3点各自又都符合3次旋转轴对称关系。所以6次旋转反演轴等价于3次旋转轴和一个垂直该轴的对称面的共同作用。这可是对称面和3次旋转轴相加关系。
上述的对称性就是宏观晶体（单晶）所具有的对称性。有的单晶可以是某一种旋转轴单独存在，更多的是不同旋转轴的组合。如前面所提到的，这种组合相交于一点，形成点群。同样经数学家证明，並由晶体存在的实际对称性所验证，有32种点群。用这种宏观对称性把晶体分类，称为32种晶类。点群是宏观对称性形成的群。晶类是按点群分类的晶体，名称与点群符号相同。
本文在下面可以粗略的说一下点群的形成。读者为节省时间可以不看，跨过去。知道有这些组合形成就可以了。
单一旋转轴有5种点群，单一旋转反演轴有5种点群，共计10种点群。
旋转轴的不同组合有6种。
将上述10种单轴点群和6种旋转轴组合点群加上对称心，又形成3种点群。已有对称心的点群，加与不加不产生新点群。
将旋转轴组合的点群用旋转反演轴替换，形成10种点群。
将对称心加到上述没有对称心点群上，又产生3种点群。共32种点群。
关于点群符号，是由小写英文字母和数字构成。说得通俗一点，点群符号就是把空间群所有平移部分去掉，即去掉代表晶格的大写英文字母，将含螺旋轴的空间群的螺旋轴转变为同轴次旋转轴。将含滑移面的空间群的滑移面转换为对称面，结果就是点群国际符号。留下这个问题，请读者想想这样转换的道理。
用时可以查表。而且从晶体结构空间群符号立刻可以得到晶体的点群，晶类。
由空间群符号提取点群符号举几个例子，供读者参考。
P（-1）空间群，（-1）点群，（-1）晶类。（括号是加上去的，正规表达一杠应在数字的头顶上，以下同。）
P2（1）／c（14）空间群，2／m点群。2／m晶类。（2（1）正规写法括号中的“1”应是下脚标，以下同。）
Pbnm（62）空间群，mmm点群，mmm晶类。
R（-3）c（167）空间群，（-3）m点群，（-3）m晶类。
I4（1）／amd（141）空间群，4／mmm点群，4／mmm晶类。
P6（3）／mmc（194）空间群，6／mmm点群，6／mmm晶类。
Fm3m（225）空间群，m3m点群，m3m晶类。
Fd3m（227）空间群，m3m点群，m3m晶类。
F（-4）3m（216）空间群，（-4）3m点群，（-4）3m晶类。
从晶体点群和空间群关系，又可以从晶体结构空间群国际符号知道晶体的点群，进而知道晶类以及具有的对称性。对晶体的性能研究，包括应用制备加工等都有重要意义。
本文到此结束，我们共同学习，谢谢阅读。
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