很多时候，我们知道三角形三边的长，要求三角形的面积。你知道怎样求吗？
设三角形三边长为a、b、c，作c边上的高h把c分成两段x和y。我们的做法是先求出高h的长度，进而用最基本的面积公式S△ABC=ch/2求出三角形的面积。
三角形面积公式推导
由勾股定理得：
a²-x²=b²-y²，①
x y=c。②
②代入①得：
a²-x²=b²-(c-x)²=b²-c²-x² 2cx，
x=(a² c²-b²)/2c。③
③代入②得：
y=(b² c²-a²)/2c。④
我们用③或④都可以求出h。
h²=a²-x²
=a²-((a² c²-b²)/2c)²
=(2a²b² 2b²c² 2c²a²-a⁴-b⁴-c⁴)/4c²
这样得到的h有四次方，数据比较大，不太好算。我们可以想办法化成好算的形式。
我们看它的分子部分：
2a²b² 2b²c² 2c²a²-a⁴-b⁴-c⁴
这是一种对称形式，应该可以分解因式。那么，怎样去分解因式呢？
我们先考察以下多项式的平方：
(a² b² c²)²
=a⁴ b⁴ c⁴ 2a²b² 2a²c² 2b²c²，
(a² b²-c²)²
=a⁴ b⁴ c⁴ 2a²b²-2a²c²-2b²c²，即
-(a² b²-c²)²
=-a⁴-b⁴-c⁴-2a²b² 2a²c² 2b²c²，
这个有点像，还有一个项符号不同。
等式两边同时加上4a²b²：
4a²b²-(a² b²-c²)²
=-a⁴-b⁴-c⁴ 2a²b² 2a²c² 2b²c²
所以有
-a⁴-b⁴-c⁴ 2a²b² 2a²c² 2b²c²
=4a²b²-(a² b²-c²)²
=(2ab a² b²-c²)(2ab-a²-b² c²)
=((a b)²-c²)(c²-(a²-b²))
=(a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b)
所以，
h²=(a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b)/4c²，
h=√((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/2c，
S△ABC=ch/2
=√((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/4。
这个三角形面积公式没有平方项，比较好算。
还可以把4放进根号里面继续化简：
S△ABC
=√(((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/16)
=√(((a b c)/2)((a b-c)/2)((c a-b)/2)((c-a b)/2))
=√(((a b c)/2)((a b c-2c)/2)((c a b-2b)/2)((c a b-2a)/2))
(a b c)/2是周长的一半，记为p，则
S△ABC=√(p(p-a)(p-b)(p-c))。
这就是著名的海伦公式。这种形式计算量最小，也比较好记。
总结一下：在推导用三角形的三边长求三角形的面积时，在化简过程中遇到分解因式，最终化成比较简便的形式，便于计算和记忆。
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