很多时候,我们知道三角形三边的长,要求三角形的面积。你知道怎样求吗?

设三角形三边长为a、b、c,作c边上的高h把c分成两段x和y。我们的做法是先求出高h的长度,进而用最基本的面积公式S△ABC=ch/2求出三角形的面积。

三角形中知道三边求面积公式(已知三角形三边的长)(1)

三角形面积公式推导

由勾股定理得:

a²-x²=b²-y²,①

x y=c。②

②代入①得:

a²-x²=b²-(c-x)²=b²-c²-x² 2cx,

x=(a² c²-b²)/2c。③

③代入②得:

y=(b² c²-a²)/2c。④

我们用③或④都可以求出h。

h²=a²-x²

=a²-((a² c²-b²)/2c)²

=(2a²b² 2b²c² 2c²a²-a⁴-b⁴-c⁴)/4c²

这样得到的h有四次方,数据比较大,不太好算。我们可以想办法化成好算的形式。

我们看它的分子部分:

2a²b² 2b²c² 2c²a²-a⁴-b⁴-c⁴

这是一种对称形式,应该可以分解因式。那么,怎样去分解因式呢?

我们先考察以下多项式的平方:

(a² b² c²)²

=a⁴ b⁴ c⁴ 2a²b² 2a²c² 2b²c²,

(a² b²-c²)²

=a⁴ b⁴ c⁴ 2a²b²-2a²c²-2b²c²,即

-(a² b²-c²)²

=-a⁴-b⁴-c⁴-2a²b² 2a²c² 2b²c²,

这个有点像,还有一个项符号不同。

等式两边同时加上4a²b²:

4a²b²-(a² b²-c²)²

=-a⁴-b⁴-c⁴ 2a²b² 2a²c² 2b²c²

所以有

-a⁴-b⁴-c⁴ 2a²b² 2a²c² 2b²c²

=4a²b²-(a² b²-c²)²

=(2ab a² b²-c²)(2ab-a²-b² c²)

=((a b)²-c²)(c²-(a²-b²))

=(a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b)

所以,

h²=(a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b)/4c²,

h=√((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/2c,

S△ABC=ch/2

=√((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/4

这个三角形面积公式没有平方项,比较好算。

还可以把4放进根号里面继续化简:

S△ABC

=√(((a b c)(a b-c)(c a-b)(c-a b))/16)

=√(((a b c)/2)((a b-c)/2)((c a-b)/2)((c-a b)/2))

=√(((a b c)/2)((a b c-2c)/2)((c a b-2b)/2)((c a b-2a)/2))

(a b c)/2是周长的一半,记为p,则

S△ABC=√(p(p-a)(p-b)(p-c))

这就是著名的海伦公式。这种形式计算量最小,也比较好记。

总结一下:在推导用三角形的三边长求三角形的面积时,在化简过程中遇到分解因式,最终化成比较简便的形式,便于计算和记忆。

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