再过几天就要到小雪了
不知不觉北京也慢慢冷了起来
就在不久前的夏天
还在盼望秋冬的凉爽
没想到冬天一到
又开始怀念春夏的温暖
在这寒冷的冬天
最想做的事情就是去海边度假
毕竟距离明年暑假只剩下212天了！
沙滩 阳光 海风 快乐的我
要不从现在开始做做预习吧！
身为一个合格的卷王（菜鸟）
到时候去了海边不得给同行的小伙伴分享知识啊！
如此阳光上进的旅程
谁听了都要羡慕！
提到海洋知识
怎么能少得了海洋动物呢
它们在海洋中留下了一道道优美的曲线轨迹
而且…
它们的运动里竟然藏着量子动力学的秘密？
Part I 海洋精灵们的运动特征——莱维飞行
我们都知道很多生物的特征可以用数学的方式来描述。
成熟向日葵盘内的种子形成两组方向相反螺旋线，一组顺时针，另一组逆时针。而这两组螺旋线的条数刚好是斐波那契数列（1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……）中相邻的两个数字。
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除此之外，宝塔菜奇异的形状是分形几何图案的案例之一。
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那么海洋生物的什么特征可以用数学的方式来表达呢？让我们以鲨鱼为例，一起来探索一下吧！
在生活中，我们的行动轨迹常常由我们的想法所决定，例如早上出门前往学校、工作地点，吃饭时间前往食堂、饭店等等。你有没有思考过，鲨鱼的运动行为是什么样的呢？
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作为海洋中凶猛的掠食者，鲨鱼需要高效地“干饭”。
那么鲨鱼怎样运动才能又准又快的“干饭”呢？让我们先来考虑一种最简单的情况——随机运动。也许鲨鱼就是完全随机的游来游去呢？
这时候，我们就不得不提到经典的布朗运动。
1827年，英国植物学家Robert Brown用显微镜观察悬浮于水中的花粉粒时，发现这些花粉粒会做连续快速而不规则的随机移动，这种移动称为“布朗运动” (Brownian motion)。
花粉在水中的运动 | 图片来源 Pollen Grains in Water - Brownian Motion animated gif (gifs.com)
布朗运动是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动。
布朗运动 | 图片来源 On the Brownian Motion - Matière et Révolution (matierevolution.fr)
布朗运动的样本路径非常特殊，它是关于时间 t 的连续函数，虽然处处连续但是处处不可微[2]。
大量布朗粒子在t时刻空间位置的概率分布呈现正态分布。
鲨鱼的运动规律符合布朗运动的特征吗？
理论分析表明，与简单布朗运动相比，莱维飞行（Le´vy Flights）会增加鲨鱼等海洋生物捕食效率。
莱维飞行以数学家 P. Le´vy 命名，是一种随机行走的方式，本质是一种随机的概率分布，其步长符合莱维分布的特征，可以通过以下分布函数来描述：
其中，1 ＜μ≤ 3，l是飞行步长。
法国数学家保罗·皮埃尔·莱维（Paul Pierre Lévy） | 图片来源[10]
与所有随机过程一样，莱维随机运动起源于扩散过程。因此，Lévy随机运动原理可用于随机方法和模拟随机以及伪随机的自然现象。尤其是，它们表现出一种异常的扩散现象：在系统中存还在一种“微观结构”。因此，Lévy随机运动与混沌理论是相关的。
莱维飞行具有幂律渐进性（即服从重尾分布）、符合广义中心极限定理、具有随机分形特性等特征。
莱维飞行 | 图片来源 布谷鸟算法（C 实现），CSDN
莱维飞行是一种随机行走，步长具有莱维分布，该概率分布是重尾的。也就是说，当定义为在尺寸大于1的空间中行走时，所执行的步骤是各向同性的随机方向意味着在随机行走的过程中有相对较高的概率出现大跨步。这也是莱维飞行和布朗运动的明显差异。
布朗运动和莱维飞行运动轨迹的对比 | 图片来源[5]
“莱维飞行”一词是由Benoît Mandelbrot 提出的，他将其用于步距分布的一种特定定义。对于步长分布为Cauchy分布的情况，他使用术语Cauchy飞行；当为正态分布时，则使用Rayleigh飞行术语（这不是重尾概率分布的示例） 。
后来的研究人员扩展了“Le´vy飞行”一词的使用，以包括随机游走发生在离散网格而不是连续空间上的情况。
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通过对多种海洋生物（包括丝鲨、黄鳍金枪鱼、蓝枪鱼、剑鱼、海龟、企鹅等）运动轨迹的追踪，研究者们发现当海洋生物处于周围食物匮乏的情况时，它们的运动策略会呈现莱维飞行的特征，捕食者们在这种运动策略下就可以更加高效的“干饭”。
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不仅适用于海洋生物的运动轨迹，莱维飞行还被运用到苍蝇的飞行行为、微生物行为甚至经济学中。
Part II 解开量子现象的钥匙——量子模拟
读到这里，你或许会觉得莱维飞行很神奇，但它的魅力不仅于此，莱维飞行的统计数据甚至可以适用于量子系统中的流体动力学过程。
在了解莱维飞行的具体作用之前，先让我们一起来看看量子系统的问题一般是用什么方法进行研究的。
近年来，量子计算、量子信息和量子模拟等领域越来越得到了公众的关注。
类似于其他模拟方法，量子模拟是通过人为控制变量的量子系统来对比自然界中各种各样的量子现象和经典现象。1982年，Feynman出于该目的提出了量子模拟器的概念。
美国物理学家理查德·菲利普·费曼（Richard Phillips Feynman） | 图片来源 How Richard Feynman Convinced The Naysayers 60 Years Ago That Gravitational Waves Are Real – The Quantum Labyrinth
对于传统的超级计算机来说，由于规模和速度的限制，模拟一个复杂的量子系统的动力学是一项难度很高的任务。
但对量子模拟器来说，模拟复杂的量子系统的动力学就如鱼得水了，它可以实现对任意的量子态的演化。
量子计算机和量子模拟器十分类似，却强调了不同的使用侧重点，我们更关注量子计算机的计算功能和量子模拟器的对比模拟功能。
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我们知道，在自然界中，量子系统的演化很难人为精准的控制和改变，所以我们很难去控制变量，因此研究不同参数下的量子动力学性质是很困难的。
在这种情况下，量子模拟是研究量子动力学行为的有效方法，在量子模拟的过程中，我们可以人为地精准控制量子系统的各个参数，高通量的调节参数进行多次扫描和重复。在这样的条件下，我们可以从多个角度来探索量子系统的性质，进行系统的研究。
一般地，量子模拟经常被用到时间晶体量子模拟、量子多提局域化模拟热力学、统计力学、拓扑、场论等量子模拟和量子化学模拟等各个领域的科学研究之中。
Part III 量子磁体的动力学模拟——莱维飞行
量子模拟器虽然很强大，但是，如果没有执行相同计算的能力，我们该如何验证量子模拟器的结果呢？
对量子系统的观察表明，我们可以用描述流体行为的伯努利方程来表示量子系统的长期行为。
研究者们通过量子模拟器对51个可单独控制离子的系统进行了长程量子磁体的动力学的模拟研究。
其中，量子系统中单个离子的量子态是由一个紧密聚焦的、可操纵的激光束控制的，激光束能够定位任何离子，同时激光束可以与离子进行相互作用。
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在这里，莱维飞行再次发挥了重要的作用，在这个量子系统中，量子磁体的动力学过程模拟是由莱维飞行的分布规律所控制的。
通过改变莱维飞行的幂指数，发现在一个由量子力学效应主导的初始阶段之后，这个系统实际上可以用流体动力学（从正常扩散到异常超扩散）中熟悉的方程来描述。
正如我们前面所描述的，莱维飞行的一个重要特征是概率分布是重尾的，意味着在随机行走的过程中有相对较高的概率出现大跨步。在这里，则说明长距离相互作用对输运有很强的影响。
这样的处理方式也为验证量子模拟器的结果提供了有效的思路：在某个时间点之后，量子系统将遵循经典流体动力学的定律。通过与经典流体动力学定律进行对比，如果出现了强烈的偏差，则表明量子模拟器无法正常进行工作。
当我们以后去海边玩的时候
在让大海带走你的忧愁的同时
不妨也想一想今天学到的莱维飞行
在欣赏大鱼吃小鱼的过程中，
不知不觉也拿捏了量子动力学的秘密呢！
会不会得到更加满足的快乐呢？
参考文献
[0] 封面图原图来自pixabay
[1] 布朗运动-知乎
[2] 姜培华,周巧沿,兰天涯,刘可欣.布朗运动几种变化形式的概率性质及其应用[J].南通大学学报(自然科学版),2022,21(01):88-94.
[3] Viswanathan, G., Buldyrev, S., Havlin, S. et al. Optimizing the success of random searches. Nature 401, 911–914 (1999).
[4] 徐建. 基于莱维飞行改进MOPSO的生产计划与调度多目标协同优化方法研究[D].杭州电子科技大学,2021.DOI:10.27075/d.cnki.ghzdc.2021.000548.
[5] Brockmann, D., Hufnagel, L. & Geisel, T. The scaling laws of human travel. Nature 439, 462–465 (2006).
[6] Bartumeus, F., da Luz, M. G. E., Viswanathan, G. M. & Catalan, J. Animalsearch strategies: a quantitative random-walk analysis. Ecology 86, 3078–3087(2005).
[7] Schuster, F. L. & Levandowsky, M. Chemosensory responses of Acanthamoebacastellani: Visual analysis of random movement and responses to chemicalsignals. J. Eukaryot. Microbiol. 43, 150–158 (1996).
[8] Fan Heng. Quantum computation and quantum simulation. Acta Phys. Sin., 2018, 67(12): 120301.
[9] Feynman R P 1982 Int. J. Theor. Phys. 21 467
[10] 王淑红,蒋迅.莱维飞行的提出者——保罗·皮埃尔·莱维[J].科学,2019,71(05):50-54.
[11] Levy distribution（列维分布）和Levy fligt（列维飞行），CSDN
编辑：Norma，Garrett
