小学阶段我们学过正整数,零,正分数。刚上初中又认识了负整数和负分数,这样就引出了有理数的概念。

整数(正整数,零,负整数)和分数(正分数,负分数)统称有理数。

今天主要介绍一下有理数的基本知识:负数,有理数的判别,循环小数化分数。

①逐渐适应负数(使思维适应数集的扩充):由于小学学了6年都是非负数,所以刚上初中容易忽略负数的情况。例如8的约数,包括正约数1,2,4,8;负约数-1,-2,-4,-8例题:已知a是一个整数,若2/a也是一个整数,那么a的值是多少。根据条件2/a是整数,可知a是2的约数,但是初中阶段要考虑负数的情况,所以答案是1,2,-1,-2。

②有理数的判别

任何一个有理数都可以表示为一个分数q/p(p≠0,p与q为互质的整数)。

根据这个基本定义:纯循环小数与混循环小数都可以化成分数,所以它们也是有理数。

但是无限不循环小数就不是有理数了(叫做无理数,这个以后再讲),但是有个特殊的π是小学六年级已经学过的。π是一个无限不循环小数,即无理数,它不能化成分数。关于π的概念题是最容易出错的,有的学生说π=周长/直径,这不就是分数吗?根据上面有理数的定义,需要周长与直径都是整数,但这种情况不存在。还有例如π/2虽然表面上有个分数线,但π不是整数,所以它也不是有理数。

任意两个有理数之间都有无穷个有理数。

简单证明:设a,b是有理数,且a<b,那么取a,b的平均值c=(a b)/2,则c也是有理数,同理可以再取a,c的平均值,可以无限的取下去。所以任意两个有理数之间都有无穷个有理数。

③循环小数化分数

利用一元一次方程把循环小数化成分数,是必须要掌握的!

例如 0.3(3循环)=1/3

设① x=0.3(3循环)

两边同时乘以10得到② 10x = 3.3(3循环)用②-①得到9x = 3,解得x = 1/3

负的循环小数也一样,只是多了个负号:-0.12(2循环)= -11/90

在有理数的计算中,如果出现循环小数,可以先化成分数再计算。

在小学阶段我们可以通过背一些口诀来化分数,比如纯循环小数的循环节有几位,分母就是几个9,像0.34(34循环)=34/99。但是初中就一定要练习方程,因为有些题目给的可能不是具体的数,而是字母,需要通过方程来简化后根据某个未知数来分类讨论。

七年级上册数学第一章有理数整理(七年级上数学03有理数的判别)(1)

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