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高中数学求函数参数取值(求函数参数范围的几种典型思路)(1)

高中数学求函数参数取值(求函数参数范围的几种典型思路)(2)

这道题还算比较常规,先看一下第一小题,可以直接 a = 1 代入到函数中,然后对函数求导,导数大于零时,函数单调递增,导数小于零时,函数单调递减,所以单调区间的计算很容易。

高中数学求函数参数取值(求函数参数范围的几种典型思路)(3)

第二小题,先用非分参方法,对函数求导,根据函数的极值点,即导数的零点位置来讨论,分为4种情况:

  1. 当 a = 2 时,函数没有极值点,此时函数在区间单调增,只需左右端点同号即可。
  2. 极值点在区间左侧,此时导数在区间上大于零,函数在区间上单调递增,同样只需要左右两端点同号即可。
  3. 极值点在区间右侧,此时导数在区间上小于零,函数在区间上单调递减,同样只需要左右两端点同号。
  4. 极值点在区间上,此时导数先小于零后大于零,函数在区间上先递减后递增,函数在极值点处取极小值,由于在接近于零处,函数趋近于正无穷大,所以要求极值点处函数值大于零。然而,此时极值点是参数 a 的函数,我们计算出极值点关于 a 的函数大于零的部分,即为我们要求的范围。

高中数学求函数参数取值(求函数参数范围的几种典型思路)(4)

接下来,我们用分参的方法,首先令函数为零,将参数 a 分离到等式的左边,其余部分划到等式的右边,将右边看作一个新的函数。对新函数求导后发现,并不能很容易看出导数的正负值,然后对导数的分子部分进一步求导(因为分母恒大于零),发现导数小于零,故而分子函数在区间上单调减,将右端点(最小值)代入后发现其大于零,说明分子在区间上恒大于零,即新函数的导数在区间上恒大于零,新函数在区间上单调递增,通过端点我们就能计算出新函数的取值范围,进而确定 a 的范围,使得方程在区间上无解(题目要求)。

高中数学求函数参数取值(求函数参数范围的几种典型思路)(5)

小结

这是一道典型的求函数参数取值范围的题,通常有两种思路。

一是直接将参数当作常数,通过讨论参数不同取值下函数的单调区间和取值范围,进而确定参数的范围。

二是将参数分离出来,将剩下的部分看作一个新的函数,然后求出新函数的取值范围或图形确定参数的范围。

这两种方法不能说哪个更好,需要根据具体情况具体分析,通常先分参,如果右边的函数比较简单,则采用分参的方法,如果分参后函数比较复杂,那就考虑用分类讨论的方法。

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