圆内接正三角形怎么求面积（求直径为10的圆内接三角形面积）

题目：

条件如图所示，求直径为10的，圆内接三角形面积

知识点回顾：

余弦定理

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

正弦定理

一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度

共圆性质定理

1. 圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
2. 四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则有：
3. ∠A ∠C=180°，∠B ∠D=180°（即图中∠DAB ∠DCB=180°, ∠ABC ∠ADC=180°）
4. ∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）。
5. ∠ADE=∠CBE（外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）
6. △ABP∽△DCP（两三角形三个内角对应相等，可由（2）得到）
7. AP*CP=BP*DP（相交弦定理）
8. EB*EA=EC*ED（割线定理）
9. EF²= EB*EA=EC*ED（切割线定理）
10. AB*CD AD*CB=AC*BD（托勒密定理）

粉丝解法1：

把边长为5的边两端点与圆心相连，得等边三角形利用圆心角与圆周角关系可得6 8倍根号3

粉丝解法2：

如图：直径AD，连接CD，角ACD＝90度，AC＝5，AD＝10，则角D＝30度＝角C作CE⊥BC于E，则AE＝AB/2＝4，BE＝4√3，CE＝3故：S△ABC＝（4√3＋3）×4/2＝8√3＋6

粉丝解法3：

设O为圆心，设AB＝8，BC＝5，连接OB，OC，则三角形OBC为等边三角形，＜OBC＝60度，没＜OBA＝a，则Sina＝3／5，Cosa＝4／5，sin（120一a）＝sin120cosa一cos120sina＝√3／2×4／5＋1／2×3／5＝2√3／5＋3／10S△ABC＝8×5sin（120一a）／2＝20（2√3／5＋3／10）＝8√3＋6

粉丝解法4：

粉丝解法5：

粉丝解法6：

如图，作AD、AC的中垂线，两线相交于点O，O即为圆心，连接AO并延长交圆与B，连接BC、BD，设∠BAD＝α，∠CAB＝β, 由题意知: AB＝10, BD＝6sinα＝3/5，cosα＝4/5，sinβ＝√3/2cosβ＝1/2，sin(α β)＝(3 4√3)/10S阴影＝AC·AD·sin(α β)/2＝6 8√3

粉丝解法7：

粉丝解法8：

6＋8√3。由高中知识的正弦定理秒解。边长为5所对的角是30度（排除150度，因为大边对大角）。

粉丝解法9：

SinA=5/10=1/2，cosA=√3/2，sinB=8/10=4/5，cosB=3/5，SinC=sin（A B）=sinAcosB cosAsinB=(3 4√3)/10，S=1/2*8*5*sinC=6 8√3

粉丝解法10：

粉丝解法11：

粉丝解法12：

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