一个三角形和内切圆的问题

孩子们在画图时经常为组合很多图案,如图,三个粉圆半径相等,有两个白圆与两个粉圆内切于镶嵌在直角三角形的正方形内,另外一个绿圆和粉圆都与三角形和正方形相切。若白圆半径t, 大的氯圆半径为R, 证明R=2t.

如何求三角形中的内切圆(一个三角形和内切圆的问题)(1)

证明:如图虚线的小三角形利用勾股定理有,

如何求三角形中的内切圆(一个三角形和内切圆的问题)(2)

r2 (2r-t)2=(r t)2

由此解得r=3t/2 (1)

在三角形ABC中,利用面积的公式有

2S=r(a c 4r) (这里用到的公式是三角形内切圆半径和三角形三边求圆的面积公式)

2S=4ra

所以a c 4r=4a

得出c=3a-4r

带入勾股定理:

如何求三角形中的内切圆(一个三角形和内切圆的问题)(3)

解得a=3r, (2)

显然c=5r,

这是一个有趣的三角形,符合勾三股四弦必五的直角三角形。

在下面的大的直角三角形也存在类似的关系,根据相似性可知:

按照(2)式类推:

4r=3R,

将(1)式的r=3t/2 带入上式有:

R=2t

后记:有关3, 4, 5所构成的直角三角形无论是勾股定理还是其逆定理都是非常有名的

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