从目前一些高等数学的教材以及网络上对拐点的定义来看,似乎并不太明确,造成了老黄的一些疑惑,在这里提出来与诸位共同探讨一下。

老黄学习的教材版本中,对拐点的定义是这样的:

定义1:设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的,这时称点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.

理解这个定义,有两个关键点:

①曲线和切线在点(x0,f(x0))互相穿过;

②在U的某邻域内,右侧邻域U (x0)和左侧邻域U-(x0)的凸性是严格且相反的。

拐点是一个数还是一个坐标(拐点的定义要明确)(1)

按道理,定义肯定要非常准确的。然而,有一些地方,却把函数f(x)=|x^2-1|的点(1,0)和点(-1,0)定义成函数的拐点。那问题就来了,曲线f(x)=|x^2-1|显然在点(1,0)和点(-1,0)这两个点甚至是不可导,更不可能存在切线,又何来切线与曲线互相穿过一说呢?

拐点是一个数还是一个坐标(拐点的定义要明确)(2)

因此,如果按照这个定义理解,点(1,0)和点(-1,0)就不是f(x)=|x^2-1|的拐点。不过类似这种情况还有很多,在一些地方,造成争论是难免的。按拐点的另一个概念“反曲点”来看。拐点的定义似乎改成下面这个形式更加合适。

定义2:函数y=f(x)在点x0的某邻域内连续,若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)凹与凸的分界点,则称(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点。

按定义2,点(1,0)和点(-1,0)明显就是f(x)=|x^2-1|的拐点。而且这个定义在网上也是可以考证的,只是它的地位却不如定义1,总是作为定义1的补充说明出现的。所以老黄才会说,目前对拐点的定义并不够明确。

老黄觉得,定义1是把拐点处切线穿过曲线的普遍情形当作定义的一个部分了。但除了普遍情形,其实还有很多特殊情形。一旦写进了定义,就变成了必要条件,从而就会排除掉很多特殊情形,造成定义的不准确。

除了这点,定义1还有很多经不起推敲的地方。比如定义中说“曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的”,其实这种说法是不准确的。因为它意味着,曲线被分成两个区间,然而曲线是可以被分成无数的区间的,只要在相邻两个区间上,满足这个条件就可以了。因此,无论是定义2还是老黄补充的解析②,都明确指出,只需要在x0的某邻域上满足条件就可以了。

另外,还有一点涉及到导数和切线的知识的争议点。那就是定义1中提到,曲线在x0的切线,自然地,函数在x0的切线存在就成了一个必要条件。然而,前面提到的,f(x)=|x^2-1|在拐点点(1,0)和(-1,0)上切线都不存在。

而且切线的存在容易被误认为可导。但其实切线存在未必就可导。因为有一种特殊的情况,是导数等于无穷大时,我们就变它导数不存在,从而也不可导。比如函数y=三次根号x在x=0上就是这种情况。这点让老黄觉得非常别扭。在老黄看来“切线存在”、“导数存在”、“函数可导”这三者如果统一起来,更容易让人接受。

拐点是一个数还是一个坐标(拐点的定义要明确)(3)

因此,老黄觉得定义2更加靠谱。定义1应该作为“可导的拐点”的定义,而不是拐点的定义。因为对拐点的研究,通常是通过对该点的二阶导数的研究来进行的。所以,可导的拐点的定义,也有它存在的意义。

,