这是《机器学习中的数学基础》的第13篇,也是微积分的第6篇。
今天我们来看几招求导的妙用,让你不知不觉中掌握微分的高级功法。
- 隐函数求导
话不多说,我们先来看隐函数如何求导。那什么是隐函数呢?比如x² y²=1,它没有用y=f(x)的显式表达,因此就把它叫做隐函数。我们先把它的图像画出来:
如上图,我们画了一个单位圆,现在我们想求点A(a,b)处的导数,该怎么办呢?有人说,我们可以把x² y²=1写成y=f(x)的形式,再进行求导呀。没错,但这样做很麻烦,因为要进行很多转化。那有没有更简洁的方法呢?
有的,就是对等式两边同时求导。我们即可得到:2xdx 2ydy=0.然后,我们化简成导数的形式,也就是dy/dx=-x/y (1)。这就是我们要求的结果,也就是说,某一点A(a,b)的导数,就等于把该点的坐标(a,b)代入到(1)式,即可求得。
你看,是不是很方便呢?
- 洛必塔法则
接下来我们来看洛必塔法则。这个法则是干嘛的呢?它是用来求函数在某点处的极限的。比如,我们要求函数y=x³在x=0处的极限,直接把x=0代入到函数中,得到的值是0,这就是所求的极限。
但有时候,比如我们求y=sinx/x在x=0处的极限,把x=0代入后,发现分子分母都为0,没有意义;还有一种情况是求y=xlnx在x=0处的极限,把x=0代入后,是0·∞的形式,也不能直接代入求解。那这两种情况该怎么办呢?
先看第一种0/0式的情况,我们可以直接对函数y=sinx/x的分子分母分别求导,因为sinx和x这两个函数在x=0处的导数与x=0处的极限的含义是相同的。因此,求导后可以得到cosx/1=cosx。然后把x=0代入,得到1。所以y=sinx/x在x=0处的极限就是1。
再来看第二种情况,y=xlnx可以写成lnx/x^-1.把x=0代入,发现分子分母都是∞,因此它可以转化成∞/∞的形式。这种情况下,我们还是对分子分母分别求导,可以得到:
再把x=0代入上式,得到结果为0,所以y=xlnx在x=0处的极限就是0。
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