数学函数奇偶性解题技巧（应用函数奇偶性解题）

例1. 已知函数

（

）是偶函数，且不恒等于零，则

A. 是奇函数

B. 是偶函数

C. 可能是奇函数也可能是偶函数

D. 不是奇函数也不是偶函数

分析：本题可以利用函数的奇偶性定义来判断，但是过程有些麻烦。如果从函数奇偶性的性质入手，解法就简捷一些。

解析：函数

，而函数

是我们熟知的一个特殊的奇函数，由函数奇偶性的性质知两个奇函数的积是偶函数，所以函数是奇函数，应选A。点评小结：记住一些常见结论有助于解题，如奇函数与奇函数的和为奇函数，奇函数与奇函数的积为偶函数，偶函数与偶函数的和为偶函数，偶函数与偶函数的积为偶函数，奇函数与偶函数的积为奇函数。

例2. 已知，，证明

。

分析：本题可以利用不等式的方法证明，若转换视角从偶函数图象关于y轴对称的方向入手，则会使解题更具新鲜感，解题方法更加独特。

解析：

。

令

，

，函数

、

均为奇函数，所以函数

为偶函数。

由知定义域为

，当

时，

，

，

所以

。

而函数为偶函数，所以当

时，函数

。

综上可知。

例3. 实数a=_________时，

为奇函数。

分析：奇函数图象关于原点对称，而当函数的定义域包含元素“0”时，则一定有

。

解析：函数的定义域为R，因为函数为奇函数，所以，即

，则

。

例4. 若为奇函数，则a=_________。

分析：在本题中函数的定义域虽然不包含元素“0”，但是我们可以应用定义域内的其他的元素进行解题。

解析：函数的定义域为，由函数为奇函数知

，解得

。

例5. 定义在

上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果

，

，那么

A.

，

B.

，

C.

，

D.

，

分析：任何一个函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式，即可以表示为

（偶函数）与

（奇函数）的和。

解析：

，故选C。

例6. 定义在

上的偶函数，当

时，单调递减，若

，试确定m的取值范围。

分析：在本题中对于

和m来说，它们的正负关系有四种可能性，解决的方法有：①分类讨论，但其解题过程过于复杂；②根据偶函数的性质进行转化，即

，则可以大大简化解题过程。

解析：由题意，得

，当时，单调递减，而

、

都在区间

上，所以

解得

。

故m的取值范围是

。

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▍ 编辑：Wulibang（ID：2820092099）

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