经常看到不少同学，遇到与角平分线相关的题目时，不知从何下手，其实万变不离其宗，如果你掌握了角平分线的性质以及以下五种角平分线常用解题技巧，所有角平分线相关的题目都会迎刃而解！
一、角平分线遇平行构造等腰三角形
例1、如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．
①求证：AB＝DE；
②√若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
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解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，（角平分线遇平行构造等腰三角形）
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC CE BE＝10 6 6＝22．
二、常过角平分线上的特殊点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题。
例2、如图：在△ABC中，∠BAC=100°，∠ACB=20°，CE是∠ACB的角平分线，D是BC上一点，若∠DAC=20°，求∠CED的度数．
延长CA到X，
∵∠BAC=100°，∠ACB=20°
∴∠B=60°，∠BAX=80°，∠DAB=80°，
∴∠DAB=∠BAX=80°，∠ADB=40°，
即AE平分∠DAX，
过E作EM，EN，EQ垂直CA，CD，AD
∵AE是DAX角平分线，
∴EM=EQ
∵CE是ACD角平分线，
∴EM=EN
∴EQ=EN
∴EM=EN
∴DE是∠ADB角平分线，
∴∠EDB=1/2∠ADB=20°，
∵∠ACB=20°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠DEC=10°，
∴∠DEC=20°-10°=10°．
三、有与角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，与另一边相交，构造全等三角形
例3、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交边CD于F点，交AD边于H，延长BA到G点，使AG＝CF，连接GF.若BC＝7，DF＝3，EH＝3AE，则GF的长为多少？
四、有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形
例4、已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE CF>EF
【提示】截取DN=DB，则有△DEN≌△DFN，△DFN≌△DFC
∴BE=EN,NF=FC
而在同一三角形中EN NF>EF
∴BE CF>EF
五、有两条角平分线交于一点时，常连接第三个顶点与角平分线的交点；并观察三角形两角和的一半是否为特殊角
六、角平分线在二次函数解题中的妙用
北师大 数学 九年级下册
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