数学有时很神奇，是因为我们生活在有限的世界中，但是当我们开始思考无限的时候，一切，就都颠覆了。
如果我问你："整数与偶数，哪一种数多？"恐怕不少同学都会说："当然整数比偶数多了。"进一步，恐怕还会有同学告诉我："偶数的个数等于整数个数的一半！"什么道理呢？那是因为"奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相间排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。"
"整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全量大于部分，整数比偶数多这不是显而易见、再明白不过的事吗？"
你认为这样回答有道理吗？
这真是不成问题的问题！可是，且慢，往往就在这种最不成问题的问题上出了问题。
比如，我们要比较两个班级的人数的多少，该怎么办呢？通常有两种办法：
1．分别数出这两个班的人数，然后比较两个班人数的多少。
2．让两个班同学分别排成一路纵队，让两班排第一的两人牵起手来，排第二的两人也牵起手来，…，以后的同学依次对应牵起手来。最后，如果某班所有的同学都与另一班的同学牵起了手，而另一班还有同学未与某班同学牵手，则某班同学比另一班人数少。
现在我们再来看整数与偶数的多少问题吧！
1．你能数出整数有多少个？偶数有多少个来吗？由于整数与偶数都有无穷多个，当然我们都不能数出它们的个数。
所以，用第一种办法来比较整数与偶数的多少是行不通的。
现在来考虑第二种办法，我们可以把整数排成一队：0，-1，1，-2，2，-3，3，…，-n，n，…。然后再把偶数也排成一队：
0，-2，2，-4，4，-6，6，…，-2n，2n，…。
这样排好之后，所有的整数都排进了第一队中，所有的偶数都排进第二队中。现在让第一队中的0与第二队中的0"牵起手"来（即对应起来），第一队中的-1与第二队中的-2对应；第一队中的1与第二队中的2对应；……，第一队中的-n与第二队中的-2n对应；第一队中的n与第二队中的2n对应，……你看，这么一个对一个地"牵好手"（即建立起"一一对应关系"之后），我们马上可以发现，第一队中的每个数都与第二队中的某个数对应，而第二队的每个数都与第一队的某个数对应，两个队伍都没有任何一数剩下来，既然如此，你能说整数比偶数多吗？看来不能。这就是说：整数与偶数同样多！
这真似乎有悖常理了，部分竟然等于全体！但这确是事实！这告诉我们，"无穷"是不能用"有限"中的法则来衡量的，许多对"有限"成立的性质对"无穷"却未必成立。
著名的数学家康托（Cantor，1829-1920）首先想通了这个问题。著名数学家希尔伯特则讲了下面一个例子：
你是一家旅店的老板，这家旅店有无数间房间，并且现在每个房间都住着人。然后又来了一个旅客，问他有没有房间住？
答案是有房间住的，只要让原来1号房间的人搬到2号，2号房间的人搬到3号，3号房间的人搬到4号……n号房间的搬到n 1号，这时原来有房间住的旅客现在依旧有房间住，同时1号房间就空出来了，可以给新来的旅客住。
那么如果这时又来了无数个旅客，问他们有没有房间住？
曾经问过很多学生，在听过第一题的答案之后，很多人回答"很简单啊，就让每个人往后搬无数个房间呗，这样就空出无数个房间了。"
好吧，不好意思，完全错误。因为如果来k个人，我可以让每个人往后搬无数个房间，因为对于任意的n，我都能找到n k。但是让我找n ∞……
现在公布正确答案：答案是有房间住的，只要让原来1号房间的人搬到2号，2号房间的人搬到4号，3号房间的人搬到6号……n号房间的搬到2n号，这时原来有房间住的旅客现在依旧有房间住，同时所有的奇数号房间就空出来了，可以给新来的无数个旅客住。
现在我们重新审视旅馆的问题，它真的仅仅是个段子么？其实两个问题，转化为数学问题，就是：1，正整数和自然数个数是不是一样多？2.正整数和正偶数个数是不是一样多？
第一个问题，如果房间从1开始到 ∞编号的话，正好是代表所有正整数的个数，如果新来的旅客代表0，那么等他住进去之后，房间的个数应该和自然数一样多。房间并没有增多，也就是说，正整数和自然数是一样多的。
第二个问题，如果房间从1开始到 ∞编号的话，正好是代表所有正整数的个数，等新来无数个旅客后，原来的所有旅客都住进了正偶数号的房间。原来已经入住的旅客的个数没有变，也就是说，正整数和正偶数数是一样多的。
好吧，如果再翻译的数学一点，其实第一问就是y=x-1，x∈N*，x可以遍历所有正整数，y同时遍历所有自然数，并且x和y一一对应，也就是说，正整数和自然数是一样多的；第二问就是y=2x，x∈N*，x可以遍历所有正整数，y同时遍历所有正偶数，并且x和y一一对应，也就是说，正整数和正偶数是一样多的。
究其错误原因，其实本质就是他们还在用有限的方法在思考无限。但其实，两者的思考方式，完全不同。
现在公布正确答案：答案是有房间住的，只要让原来1号房间的人搬到2号，2号房间的人搬到4号，3号房间的人搬到6号……n号房间的搬到2n号，这时原来有房间住的旅客现在依旧有房间住，同时所有的奇数号房间就空出来了，可以给新来的无数个旅客住。
其实上面这些理论，数学家康托在19世纪末就得出了这些结论，还包括：整数和有理数一样多，一条直线上的点和一个平面上的点一样多，甚至和地球上的点也一样多等等。是不是觉得不可思议？
好吧，康托自己也说过，"我得到了它的结论，但是我不敢相信它。" 在他的集合论中，它对元素有无穷个的集合进行了分类．分成两类，一类是元素能够与整数形成一一对应关系的叫可数集合，另一类是无素不能与整数形成一一对应关系的叫不可数集合．基数，用来表示集合大小的，并定义了可数集合的基数是一个数，而不可数集合的基础是另一个数，同时他证明了实数的基础比正整数要大，进而在集合论的背景下逻辑严密的证明实数比正整数多．
这真似乎有悖常理了，部分竟然等于全体！但这确是事实！这告诉我们，"无穷"是不能用"有限"中的法则来衡量的，许多对"有限"成立的性质对"无穷"却未必成立。我们生活在有限的世界中，但是我们思考无限的时候，整个有限世界的理论，就开始崩塌。而能够接受这些理论的，才能够开始学习高等数学。
在数学的世界里，各种理论都是在不断完善发展的，集合论同样如此。尽管古典集合论解决了当时许多数学问题，但是经过数学家们的研究，古典集合论仍然存在着漏洞。
1903年，英国数学家罗素提出了著名的"理发师悖论"（规定只给不会给自己理发的理发师，到底该不该给自己理发），紧接着，各种悖论扑面而来，数学家们开始认识到古典集合论的巨大漏洞，间接引发了第三次数学危机。既然问题已经出现，就需要解决问题，数学家们纷纷需求解决方案，这就促使了数学家们用公理化方法和数理逻辑去重建集合论。
1908年，策梅洛建立了第一个公理集合系统，经过弗伦迪克、冯诺依曼等人的补充，得到了策梅洛——弗伦迪克公理系统，简称ZF系统，加上选择公理后，又称ZFC系统，一直沿用至今。从该系统中，可以导出古典集合论中所有的结果，并且排除了罗素悖论等各种已知悖论。
正如欧式几何与非欧几何一样。哥德尔曾经提出著名的哥德尔不完备定理，打破了希尔伯特将数学公理化的愿望，任何兼容性的体系，无法用于证明它本身的兼容性。也就是说，在公理集合论中，总会存在属于该系统本身，却又无法用该系统去证明的定理、假设等。
在当时，大家最能够的接受的就是构造性证明，而这种逻辑性证明是不被大家认可的。康托把这种一一对应的概念推广到判定无穷集合是否相同或不同的标准，于是得到了很多违背当时认知的东西。他的这一系列论文的发表，也标志着集合论的诞生。
然后就在同时，保守主义者也在无情的批判和嘲讽他，说他是一个疯子，甚至还有人身攻击，但也有热情的支持者。各种态度纷至沓来。例如德国数学家韦尔（Weyle）说他是雾中之雾。还有他的老师克罗内克，恶意的攻击他，说康托是离经叛道，科学骗子，蛊惑青年，等等，甚至不承认康托是他的学生。
好吧，你可能现在会表示，这么简单的一个问题，为什么我要嘚吧这么久？
如果觉得这个问题太简单的，那么下一个问题：有理数和无理数那个多？
按照康托建立的法则，我们可以比较任何两个无穷集合的数目的多少，而且可以得出许多惊人的结论。
简要说明无理数个数为什么远远多于有理数，这是因为，无理数集与实数集对等，有理数集与自然数集对等，对等的意思就是集合元素个数相等，实数集的势是远远大于自然数的势的。这就说明了无理数个数远远多于有理数。~~真的是这样耶！
最后，说一下，集合论的创立，对整个数学的发展，意义重大，这是无法用语言去描述的。这里本着让大家去了解集合论的数学背景、影响力出发，尽量将集合论的发展历程描述详细，其中的数学错误可能在所难免。集合论体现现代数学思想，它以全新的手段考察数学的研究对象，既能见树木，又能看到森林。对某一类问题的研究，像蘑菇一样成堆成片地作出发现。邻域、映射、线性空间、结构、群、环、域等一系列现代数学概念，都建立在集合论之上。今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。
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