今天讲一下#考研#数学分析#关于复数的若干有理函数定理之一般复系数二次方程的根的条件情况讨论，我来为大家科普一下关于二阶常系数齐次线性方程的定义?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!
二阶常系数齐次线性方程的定义
今天讲一下#考研#数学分析#关于复数的若干有理函数定理之一般复系数二次方程的根的条件情况讨论。
对于一般复系数二次方程：（a A•i）z^2 2（b B•i）z （c C•i）= 0. 其二次项复系数中a和A不同为零，在该方程两边同时除 a A•i . 则可把原复系数二次方程简化为：z^2 2（b B•i） （c C•i）= 0 作为标准形式考察。可置 z = x y•i，令实部和虚部分别相等，得关于 x 和 y 的一对方程组联立，亦即：x^2 - y^2 2（bx - By） c = 0 … ①，2xy 2（by Bx） C = 0 … ②. 不妨令：x b = ξ ，y B = η ，b^2 - B^2 = h ，2bB - C = k ，上述方程组就变为： ξ^2 - η^2 = h … ③
2ξη = k …④ 将 ③^2 ④^2 可得：ξ^2 η^2 = （h^2 k^2）^（1/2），其中 ξ = ± ｛1/2【（h^2 k^2）^（1/2） h】｝^（1/2），η = ± ｛1/2【（h^2 k^2）^（1/2）- h】｝^（1/2）. 注意，这里必须选取符号以使 ξη 与 k 有相同的符号：若 k ＞0，则 ξ 和 η 取正，若 k ＜0，则 ξ 和 η 取负.
上述一般复系数二次方程有根条件各种情况分类说明：
1.有等根的条件. 仅当上面两个平方根都为零，即：h = k = 0 ，也即： c = b^2 - B^2，C = 2bB 时两个才相等，上述条件等价于 c C•i = （b B•i）^2，它表达标准形式方程：z^2 2（b B•i）z （c C•i）= 0 的左边是一个完全平方形式。
2.有实根的条件. 若方程 x^2 2（b B•i）x （c C•i）= 0 ，其中 x 为实数，则有 x^2 2bx c = 0 ，2Bx C = 0 ，解出 x 代入二次方程（消去 x），得到所需条件为：C^2 - 4bBC 4cB^2 = 0 .
3.有纯虚根的条件. 同上易知所需条件为：C^2 - 4bBC - 4cb^2 = 0
4.有一对共轭复根的条件. 两共轭复数之和与之积均为实数，故 b B•i 和 c C•i 也必定是实数，即有 B = C = 0 . 因此标准形式复系数二次方程 z^2 2（b B•i）z 2（c C•i）= 0 可有一对共轭复根，仅当其系数都为实数（我们可以通过根的显示表达式验证此结论）. 特别地注意，若 b^2 ≥ c，此时方程根均为实数，由此为了使一般复系数二次方程有一对共轭复根，则推出必有 B = C = 0，且 b^2＜c。
下次讲述#考研#数学分析内容：三次方程根的分布（实根，纯虚根，共轭复根）条件讨论结论。
,
