逻辑学与数学学习的区别（为什么逻辑是一切的基础）

逻辑学与数学学习的区别（为什么逻辑是一切的基础）(1)

数学和逻辑学

数学结论的正确性，取决于公理的正确性，以及逻辑的严密性，因此数学和逻辑是密不可分的，特别是像欧几里得几何这种数学体系，完全依赖于逻辑。

但是，数学和逻辑又是完全独立的两门学问，不能混为一谈。

一般认为，逻辑是人类理性的体现，它的基本原理其实都是大白话，但是仔细琢磨起来很有道理，更关键的是，只有少数人能够坚持那些看似大白话的基本原理。

同一律：苹果就是苹果，不是橘子

首先要说的是同一律，它通常的表述是，一个事物只能是其本身。

这句大白话背后的含义是，世界上任何一个个体都是独一无二的。注意这里说的是个体，不是群体。一个事物只能是其本身，而不能是其他什么事物。

苹果就是苹果，不会是橘子或者香蕉。因为有同一律，我们才可以识别出每一个个体，这在数学上可以用A=A这样的公式表示，而且当一个个体从一个地方移到另一个地方去之后，它就不会在原来的地方而会出现在新的地方。

同一律：苹果就是苹果，不是橘子

·比如我们有一个等式X 5=7，当我们把5从等式的左边移到右边去之后，就变成了X=7-5，等式的左边只有X，不可能再有5这个数字了。

·很多孩子解方程，把数字从一边移到另一边的同时，忘记了把原来的数字消去，最后题做错了，自己还有家长只是觉得粗心了而已。

其实在每一次粗心的背后，都有概念不熟悉的深层次原因。具体到这个问题，就是根本不理解同一律。

同一律：苹果就是苹果，不是橘子

同一律在集合论中特别重要，集合中的所有元素必须都是独一无二的。比如我们说整数的集合，里面只能有一个3，不能有两个，如果有两个，就出错了，这一点很容易理解。

但是，在生活中，很多人自觉不自觉地在违反同一律，一个最典型的情况就是偷换概念，具体讲就是把不同含义的概念使用了同一个名称，达到瞒天过海的目的。

同一律：苹果就是苹果，不是橘子人

有些时候偷换概念是不自觉的，比如很多词的含义有二义性，他搞不清楚，造成了自己头脑的混乱，或者把一个个体和一个集合等价起来，以偏概全。

比如有些人会讲，股市都是骗局，他们的经验是来自一部分股票，是个体，但是讲这句话的时候，就把股票换成了集合也就是股市。

自己不懂的逻辑，头脑不清，讲出的话违反了同一律后，就会造成别人的误解，甚至自己也会被绕进去，很多人缺乏好的沟通能力，可以溯源到讲话经常违反同一律上

同一律：苹果就是苹果，不是橘子

另一方面，也有人是故意违反同一律，比如悄悄改变某个概念的内涵和外延，把它变成了另外一个概念，或者将似是而非的概念混在一起讲。

比如商家常常用“限量版”这个词对外宣传，让人感觉数量非常有限。其实世界上任何商品的数量都是有限的，只是多和少而已。很多商品，并没有限量版一说，但其实数量比同类的限量版要少很多。比如说施坦威钢琴一年一共生产2000台左右，大型的 ModelD只有上百台，但是施坦威从来不说限量版。

同一律：苹果就是苹果，不是橘子

·相反，日本限量版的钢琴数量常常比施坦威相应型号的总数量多很多了，但是一说限量版，大家就有高大上的感觉，这其实是偷换了限量版这个概念的外延。

·再举一个例子，你会发现美国的左派和右派都在喊平等，但是总是在吵架，因为他们一个说的是结果平等，一个说的是机会平等，这是因为把很多相混淆的概念装进了一个名词中，违反了同一律。

同一律：苹果就是苹果，不是橘子

·在数学上，要严格遵守同一律。为了防止出现违反同一律的情况，就需要把概念定义得极为精确，在法律上也是如此。在生活中，我和别人沟通时，我常常会用我的语言复述一下对方的话，明确我们是在讨论同一件事情，这一点很重要。

很多时候，我们和别人沟通中的误解，就来源于忽视了同一律。

矛盾律：不可能既是A又不是A

·接下来要说的是矛盾律。它通常的表述是：在某个事物的某一个方面（在同一时刻），不可能既是A又不是A。我们前面介绍的数学中的反证法，就是基于矛盾律。

矛盾律“contradiction”一词是由两个词根组合而成的，前一个词根“contra”是“相反”的意思，第二个词根“dict”是“讲话”的意思，顾名思义，它就是指讲话的意思相对立。

矛盾律：不可能既是A又不是A

也有人把矛盾律看作是同一律的延伸，因为“是A”和“不是A”是两个不同的个体，自然不可能相同。我之所以强调事物的某一个方面，因为事物本身可能是多方面的，不同方面可能有不同的表现。

有同学问，光的波粒二象性是否违反矛盾律？

这其实不违反，因为它讲的是一个事物的不同方面。

矛盾律：不可能既是A又不是A

·类似的，有人会讲，我人在某处，心却在你身边，这也不违反矛盾律。但是如果说，某时某刻，我人在北京，人又不在北京，这就违反了矛盾律。在办案中，我们说的不在场证据，之所以能成立，是因为有矛盾律作保证。

在数学和自然科学中，很多重大的发现都是源于矛盾律的使用。

比如在前面提到的毕达哥拉斯定理和无理数的内容中，这个定理和有理数性质的矛盾，就导致了无理数的被发现。

矛盾律：不可能既是A又不是A

·在物理学上，麦克斯韦方程组和经典力学方程的矛盾，就导致了后来相对论的提出。在生活中，有人会挑战矛盾律，比如有人说：“我是一个矛盾的人，既慷慨大方，又斤斤计较。对于教育我总是慷慨解囊，对自己的生活非常节省。”

这种说法看似没有违反矛盾律，其实已经违反了前面讲的同一律，因为偷换了概念。

排中律：“是非”明确

·最后，我们来说说排中律，它通常的表述是，任何事物在明确的条件下，都要有明确的“是”或“非”的判断，不存在中间状态。

·比如在数学上，一个数字，要么大于零要么不大于零，没有中间状态。有人可能会说，等于零不就是中间状态么？其实大于零的反面并非小于零，而是不大于零或者说小于等于零，因此等于零的情况其实就是不大于零的一种。

排中律：“是非”明确

·排中律保证了数学的明确性，通常我们在数学上使用排中律原则最多的时候，就是在所谓的排除法或者枚举法中。当我们排除了一种情况时，和它相反的情况就一定会发生。

如果有多于两种对立的情况，我们可以先把所有可能的情况二分，然后再不断二分，直到每一个彼此不重复的情况为止。在计算机科学中，任何和二分相关的算法，其逻辑基础都是排中律。

排中律：“是非”明确

·在这种思路的指导下，1976年，美国数学家阿佩尔和哈肯借助电子计算机，证明了四色（地图）定理。这是图论中一个非常著名的难题，它说的是在任何地图上，只要用四种颜色就能够给所有的国家（或者地域）染色，保证相邻的地域颜色不同。这个问题的难度在于情况太多、太复杂，因此数学家们努力了100多年也没有结果。阿佩尔和哈肯的高明之处在于，他们用计算机穷举了所有的情况，然后借助计算机一一证明了各种情况。

排中律：“是非”明确

·讲到排中律，就不得不讲西方人和东方人在思维上的一种差异。在美国的大学和研究生升学考试SAT和GRE中，都要写作文，作文题目通常是就一个观点发表赞同或者反对的意见。

中国学生的思维方式，常常是“既要…又要…，比如让他分析是否要禁烟草，他会说：“因为吸烟对人体有害，因此我赞成禁烟，但是来自烟草的税收在国家的总税收里占很大的比例，所以，也不赞成完全禁烟。”

排中律：“是非”明确

这种作文或许在中国的高考中能得到不错的分数，但是在SAT和GRE的考试中，都会是不及格的分数，因为它首先违反了排中律。这不是文学写作水平的问题，是逻辑上的问题。通常，稍微有一点逻辑的人在讲话时，会注意不违反排中律。但是不少人在不注意的时候，还是会被人设套。比如一个检察官问犯罪嫌疑人：“你收受的贿赂中有没有奔驰汽车？”这其实就有一个圈套，因为问话包含了一个预设，即对方已经有了收受贿赂的行为。

排中律：“是非”明确

·对此问题，如果简单地回答没有，其实等于变相承认了自己有受贿行为。

有经验的辩方律师这时候需要向法官提出抗议，抗议检方这种设有圈套的问法。当然，作为被告方，好的回答是否定对方的大前提，即直接回答，我根本没有接受过贿赂。

充分条件律：有果必有因

此外，很多逻辑学家也把“充分条件律”和上述三个基本原则等同起来，一同称为逻辑的四个基本原则。所谓“充分条件律”，讲的是任何结论都要有充足的理由，这也就是我们常说的因果原理

任何数学的推理，都离不开充分条件律。

·充分条件律成立的原因，在于宇宙中任何事物不能自我解释，或者说不依赖于其它事物而存在。

充分条件律：有果必有因

比如逻辑学家们经常会讲，为什么有我呢？不是天生就有我，而是因为有我的父母存在。再比如说，为什么张三数学成绩好？是因为他聪明，老师好，学校条件好，或者学习努力而且方法好，等等，而不是毫无条件的，天生数学就好。当然，很多时候仅仅一个或几个条件本身还够不成充分条件，需要上述条件都满足才行。

·数学正是因为有内在的逻辑性，才避免了可能的自相矛盾之处。

充分条件律：有果必有因

·这一讲我想告诉大家的是：人们通常会身陷矛盾而不自知，因为缺乏逻辑性。