在数学中，有一些不等式可以利用函数的单调性来证明，今天老黄就要介绍几个应用函数单调性证明的不等式。
应用函数的单调性证明下列不等式：
(1)tanx>x- x^3/3, x∈(0,π/3)；(2)2x/π<sinx<x, x∈(0,π/2)；
(3)x-x^2/2 <ln(1 x)< x-x^2/(2(1 x)), x>0.
解：(1)记f(x)=tanx-(x-x^3/3)=tanx-x x^3/3, 【高数有很多问题都需要构造辅助函数】，
则f’(x)=(secx)^2-1 x^2=(tanx)^2 x2≥0, 【即 原函数在定义域上是单调递增的函数】
∴f(x)在(0,π/3)上单调递增, 又f(x)在x=0连续，【必须确定函数在需要用到的端点连续】
∴当x∈(0, π/3)时, f(x)=tanx-(x- x^3/3)>f(0)=0,
即tanx>x- x^3/3, x∈(0,π/3).
(2)记f(x)=sinx/x, 【若记f(x)=sinx-x，可以证明sinx<x，但很难证明2x/π<sinx】
则f’(x)=(xcosx-sinx)/x^2=(x-tanx)cosx/x^2<0, x∈(0, π/2), 【可记g(x)=x-tanx，同样应用函数的单调性证明x-tanx<0, x∈(0, π/2)】
∴f(x)在(0, π/2)上单调递减,
又lim(x->0)(sinx/x)=1，【当辅助函数在端点处没有定义时，必须求函数的极限】
∴当x∈(0, π/2)时, 1>sinx/x>sin(π/2)/π/2=2/π,
即 2x/π<sinx<x, x∈(0,π/2).
(3)记f(x)=x-x^2/2-ln(1 x), g(x)=x-x^2/(2(1 x))-ln(1 x), 则当x>0时，
f’(x)=1-x-1/(1 x)=(-x^2)/(1 x)<0,
g’(x)=1-(4x(1 x)-2x^2)/(4(1 x)^2)-1/(1 x)=x^2/(2(1 x)^2)>0.
∴f(x)减, g(x)增, 又f, g在x=0处连续,
∴f(x)=x-x^2/2-ln(1 x)<f(0)=0, g(x)=x-x^2/(2(1 x))-ln(1 x)>g(0)>0,
即 x-x^2/2 <ln(1 x)< x-x^2/(2(1 x)), x>0.
接下来，归纳应用函数单调性证明不等式的一般步骤。不妨记不等式u(x)>v(x), x∈(a,b).
1、构造辅助函数f(x)=u(x)-v(x). 或(f(x)=u(x)/v(x)，v(x)>0),
2、求f'(x).
(1)若f'(x)>0，则f增，必有f(x)在x=a连续，且f(a)=0(或f(a)=1)，否则无法证明。
则 f(x)=u(x)-v(x)>f(a)=0(或f(x)=u(x)/v(x)>f(a)=1)，
从而有u(x)>v(x)，得证。
(2)若f'(x)<0，则f减，必有f(x)在x=b连续，且f(b)=0(或f(b)=1)，否则无法证明。
则 f(x)=u(x)-v(x)>f(b)=0(或f(x)=u(x)/v(x)>f(b)=1)，
从而有u(x)>v(x)，得证。
同理可以证明u(x)<v(x)的情形，把它写成v(x)>u(x)，就归纳到上面的情形。
现在你会自己利用函数的单调性证明一些不等式了吗？
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