0.9...=?1吗？
这个问题看似很简单，但其实中间涉及了太多的内容了。
作为了一道数学题，李永乐老师借数学的公理化来解答：视频链接
个人之前认可的解答是：
按小学课本的”记法“
1/9=0.1...
2/9=0.2...
...
1=9/9=0.9..
设方程
x=0.9...
10x=9 0.9...=9 x
x=1
但正如一般人的“直觉”一样，0.9...无论多少个9都是比1小的。为什么呢？
因为一般人的“直觉”里，蕴含了一个神秘的设定：无数个=自然数个。
将问题转换一下就可以好理解了：
设a1=0.9, a2=0.99, a3=0.999, an=0.9(n个9), 证明an<1。
利用数学归纳法证明如下：
n=1时，结论成立，
假设n成立，an 1=an 0.0...9(中间n个0)<an 0.0...1(中是为n-1个0)=1，
由此可知对于所an<1成立。
通过数学归纳法，我可以证明“0.9...<1”。但这里“...”不同于“1/9=0.1...”中的“...”。因为无限循环小数，中的无限个，与自然数的无限个，不是同一个级别，这涉及康托尔一个研究：
实数集合是不可列的。由于实数集合是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了必定有超越数存在的结论，而且超越数'大大多于'代数数。
简单一点说：
自然数有无数个，实数有无数个，但是实数的无数个要比自然数的无数个要大。
所以最终的结论是：
0.9...(N)<1
0.9...(R)=1
本质上0.9...是一个带有歧义的写法，并不是只代表一个数。
所以第一次数学危机，被人利用公理化来定义实数，可能不是一个必要的手段，而是同样要归因于对于无限的理解上，也即思维上的对无限的理解。正如李永乐老师在片尾提到的：阿喀琉斯追龟的问题。我们重新看一下这个最经典的芝诺的悖论。
阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！
关于这个悖论的数学解答，一般是使用数列的和的极限，即级数的极限来解答。
本来个人对这个解答已经非常满意，但联系到上面的结果，其实说明，即使没有级数和极限的都可以解释：
阿基里斯跑出了无数段"追赶“的过程，这个事实上的无数段是R级的，而不是N级的，芝诺按N级的过程来思考无数段”追赶“的过程的结果，即两者的距离会不会等于零。在N级是不等于零的，在R级是等于零的。
简单地说：
用越出你能想到的无限次（N级），阿基里斯就能追上乌龟。
人从认识数字开始，1，2，3，4，5，...这里人能认识到无限，这几乎可以用来当作人与其他动物的根本区别之一，或者说教懂小孩子数数，到能说出任意一个数的下一个数是什么，如一万，下一数是一万零一，那么他就是真的“人”了。
再回头看看我们对于无限的认定，这种思维的影响：
【影响1】、第一次数学危机
毕达哥拉斯学派对数字有类似宗教似的信仰，不承认无理数的存在，但不承认的√2正是由毕达哥拉斯定理导出的，还要将1/9=0.1...（N），其实真可以说有理数都还没弄懂，实在是某种打脸。
【影响2】、第二次数学危机
本次危机的关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
我们可以先看一个数0.0...1。
我们可以得到：0.0...(N)1>0
那么，0.0...(R)1=？0
个人猜想1：0.0...(R)1=0，更一般地0.0...(R)n=0，n为任意的一个自然数。
设△1=0.0...(N)1，我们也可以得到一个无限小的数，注意这也是一个常量。
设△2=1-0.9...(N)，我们可以得到一个小无限小的数，注意这是一个常量。
个人猜想2：△1=△2。
个人猜想3：△1无论是在十进制计数，还是二进制计数，或其他进制数，它们应该相等。
个人猜想4：二进制下的0.1...（N)和十进制下的0.9...(N)，或其他进制数下，它们应该相等。
再看一个数：r1=8/9=0.8...(R)
另有一个数：r2=0.8...(N)
那么△3=r1-r2的结果也应该是一个常数，但它也是无穷小。
个人猜想5：△1=△2=△3。
显然令：r3=0.898...(N)，显然有：r3-r2 != △3
这跟我们习以为常的加减法中，“位数对齐”有着更深层次的联系。
令△4=0.0...(N)2，我们也可以得到一个无限小的数，注意这也是一个常量。
但△4/△1=2，而不是0/0那种“无意义”算式。
个人猜想6：△1是最小的正实数。即0的下一个实数是△1。
令△5=1/9...(N)，我们也可以得到一个无限小的数。
个人猜想7：△1<△5。
个人猜想8：△5是最小的一个正有理数，即0的下一个有理数是△5。
再在数制上扩充一下：
令0.1...(N2)，表示二进制表示下的无限（N）次循环小数。
用数学归纳法，容易得到0.1...(N2)<0.9...(N10)，但0.1...(R2)=0.9...(R10)
所以1-0.1...(N2)>1-0.9...(N10)，也即考虑了数制后，△1是随着数制的变化而变化的，这也我们日常使用不同的单位下，最小的单位是不同的保持一致：如1米要大于1尺。
无限个，即无穷大是一体两面，无穷小，也是一体两面，也可以说是歧义性的，只要在无限（N级）上，它就不是零，而达到了无限（R级）上，它就是零。
函数的极限由级数的极限推广而来：
这个版本的极限定义中使用的“任意比零大的数”，是一个构建存在型的定义，即只要证明存在一个数，令函数值与极限距离小于“任意比零大的数“，也就是所谓“无限接近”的曲线化的定义方式。因为级数的极限，与自然数的连续性有关，自然数的连续性是我们最习以为常的n和n 1，所以这个是使用了自然数的连续性“代替”或“产生”实数的连续性。这个推广的思路和过程，是否还有不严谨的地方或者更深层的含意呢？
我们回头再看看芝诺悖论：阿基里斯追乌龟的问题如果以级数的极限来理解：
设阿基里斯的速度是10，乌龟的速度为1，阿基里斯和乌龟初始距离是1，那么
从追赶的时间上来看：
阿基里斯按芝诺描述的过程，每一次追赶的过程消耗的时间为：
0.1
0.01
0.001
...
0.0...(N)1
它们之和是0.1...(N)和1/9是不相等的，但0.1...(N)的极限是1/9，即0.1...（R)。
极限的成立在于有一个数比自然数的个数还要大。那么极限用级数来展开是否错误？
1/9=0.1 0.01 0.001...
这个等式成立吗？当你列出实数个数的项是正确的，但列出自然数个数的项是错误的。
这里会涉及到计算机领域的“可计算问题”，所有“可计算”，只是在实际上最多只能达到“自然数”个数的项，而达不到逻辑上的实数个数的项，所以从根本上说，计算的结果可能只是一个近似值。后述有机会展开讨论。
无限接近，如果只是在无限在N级，就是无有达到，即距离大于0，如果在R级，就是达到，距离等于0。所以连续的概念是否可重新梳理如下：
在自然数下：1，2，3，4 ... 我们称n和n 1是连续的。
在有理数下：我们称q和q △5是连续的。
在实数下：我们称r和r △1是连续的。
在复数下：我们称c和c △1是连续的，c △1是两个数，即△1分别加于实部和虚部。
重新认识实数的连续性，与直线和曲线的连续性是一致的，以及欧氏第五公理的平行的理解也可以“反作“于代数领域，未来实数，复数的数系还有可能进一步地推广。
【影响3】、第三次数学危机
本次危机以罗素悖论或”理发师“悖论为标志，朴素集合论受到极大的挑战。
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
这个问题似乎本身是逻辑学的事情，似乎跟无限没有什么直接的关联，理发师悖论的核心问题在：
城里有一位理发师，代表理发师是城里的一个人。
广告词上：本城所有不给自己刮脸的人。
一般来说，这个悖论的解决方式是：如果理发师不是城里的一个人，或理发师将自己排除在规矩之外，悖论就不成立了。
但还可以从规则上分析：”本城所有不给自己刮脸的人“，这句话中”本城所有不给自己刮脸的”这个修饰部分，我们一般理解为人的一个属性或者一个状态。任意一个时刻，一个人应该处于“为自己刮脸”和“不为自己刮脸”，这两种状态之一，同时，对于任意一个人，一个时间段内，或一生中，其实这种状态是“连续”地在变化的，任意一个人都可以在两个状态中切换，所以这个过程，我们定义一个函数：
f(x）=1，2【1为不自己刮脸的状态，2为自己刮脸的状态】
对于理发师之外的人，一般的类型有三种，如下：
当我们要画理发师的曲线时，会遇到一个问题：画不出来。
为什么画不出来？
我们试图慢动作地将这个过程演示一下：
t1时刻，理发师发现自己胡子长了，他的状态为：不自己刮脸。按照规则，理发师可以为自己刮胡子。
t2时刻，理发师在刮自己的胡子，他的状态为：自己刮脸。按照规则，理发师不可以为自己刮胡子。
因为人只能处于其中一个状态，所以t1时刻的状态，只能对下一个时刻产生影响，同理t2时刻的状态，也可能对下一个时刻产生影响。
但t1和t2的下一个时刻是什么？下一个小时，分钟，秒，毫秒，我都知道，但下一个时刻应该是比这些单位都要小，瞬间又变得很熟悉，回到无穷小上来了。
我们知道：自然数是连续的，实数是连续的，但实数比自然数更密集。从【影响2】的讨论中，如果我们认为△1是实数步进的“单位”，那么理发师的曲线就变得可以描述了：
理发师从时刻t，为不刮脸的状态
t 1*△1，为刮脸的状态
t 2*△1，为不刮脸的状态
t 3*△1，为刮脸的状态
...
所以理发师的曲线画不出来，不是因为不存在，而是存在，但“无限离散”，是以“单位”为步长的一系列的不断变换而已。只不过“单位”无穷小，不足以用数轴上的两个点的距离来定义它而已。如果勉强要画，可以画成这样：
所以理发师悖论，其实本身并不是悖论：理发师可放心地为自己刮胡子，有人质疑时，理发师可以说：我是在无限次的状态切换中完成的，所以并不违背规则。理发师说的无限次，又一次突破了人类思维的‘直觉’而已。
从另一角度说：理发师悖论，其实是“飞矢不动”悖论的升级版，这里就不展开了。
逻辑过程与实际过程是有差异的，如芝诺悖论中阿基里斯追赶乌龟一样。
这里再一次说明：人类的逻辑过程极限被设计成为N级。
回过头来看，理发师悖论和罗素悖论似乎不等价。
罗素悖论的精确表述：如果存在一个集合A={x | x∉ x }，那么A∈A是否成立？如果它成立，那么A∈A，不满足A的特征性质。如果它不成立，A就满足了特征性质。
普遍认为，理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
另外还有，康托尔悖论：“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”。
在理发师悖论中可以引入时间维度来说明，但罗素悖论不行。问题在什么地方呢？
在讨论理发师悖论时，我们说理发师的状态是可以变动的，某一个时刻是固定的，休整上是一个运动状态。这是因为“实际过程”压制“逻辑过程”。在“逻辑运算”过程中是不考虑时间消耗的，现实过程是要考虑时间消耗的。
这跟另一个物理问题有着极大的关联：时间是什么，时间存在吗？这里不展开。
回来“逻辑过程”本身，逻辑过程是真的零时损耗吗？如果它是零时损耗，那么对于逻辑过程，只适合来描述“状态”，而不合适来描述“过程”。我们分析一下康托尔悖论：
逻辑过程如下：
第一个产生的集合是空集，
第二个是集合是以第一个集合为元素的集合，
第三集合是以已存在的第一个和第二个集合为元素的集合，
第N集合是以已存在的N-1个集合为元素的集合，
....
从这个过程中，我们可以发现关键词是：“已存在”，“已存在”是逻辑推理的“动力”，也就是我们常说的“必要条件”，也是我们说的逻辑“步进单位”，那么步进的累积就可以无限大，对于这个逻辑步进单位的无限大？我们的直觉又是怎么处理的呢？承认“已完成”，如自然数集合完成了，才能构建出整数集合，有理数集合，实数集合。到了现在每一个学生一接触实数集，它就是已存在的，已完成构建过程的，但学生并不一定真的可以理解什么是实数，如果能把逻辑过程”重演“一次，那么学生掌握的程度就会大大地加深。
再回到“已完成”，它是不是“终极已完成”？康托尔悖论就是承认“终极已完成”而产生的。所有集合的集合已存在，但元素和集合有着天然的壁垒，即元素不是集合，集合不是元素。所以康托尔自己用反证法证明了“所有集合的集合”不存在。
即“已完成”≠“终极已完成”。于是，逻辑的步进累积可以阶段性完成，而不能终极完成，所以逻辑是有“时间损耗”的，有一些情况，时间损耗的累积是0，但有一些情况的损耗的累积不是0。
“所有的集合的集合”是一个逻辑时损不为0的情况，罗素导论中的“A={x | x∉ x }”，则是“所有集合的集合”的加强版“所有不包括自己的集合的集合”。
实际上，从语言学上，我们需要注意的“X的Y是Z”，这种命题，我们要承认命题的逻辑时损不一定为0，命题的逻辑时损由X，Y，Z的逻辑时损决定，只有X，Y，Z的逻辑时损为0时，命题的逻辑时损才是0，不然这个命题就是没有逻辑结果的，即这个命题既不能被证明，也不能被证伪。
个人猜想9：逻辑时损的理念与哥德尔的”不完备性定理“是一致的，甚至是更广泛普适的，如非公理系统。也与PC和NPC问题有着千丝万缕的关系。
关于”步进“，“累加”和”逻辑时损，还可以表现在新兴的数学分支——模糊数学上，谷堆悖论和秃头悖论是一个开端：
谷堆悖论：一颗谷粒不能成为谷堆，但是很多谷粒就可以成为谷堆；同样，从一个谷堆上拿走一颗谷粒，谷堆还是谷堆，那么反复不停地一颗一颗拿走，是否最后剩下的一颗谷粒也还是谷堆？
秃头悖论：头上长满头发的人不是秃头，拔掉一根头发也不是秃头，但不停地拔却能把他变为秃头。
模糊数学使用了“隶属度”的概念来描述，它与概率类似，是一个区间【0，1】。但这种描述只是将悖论的过程量化了，并把判断交给设定合理的“隶属度”的人而已，还不算真正地解决了悖论。
如果把堆谷堆的过程，画一个“谷堆”的曲线，理论上应该如下：
但是那个值x，我们却无法逼近，所以最终曲线也是画不出来。因为一个谷粒的贡献，在之达到x前都是被当作0的，但达到x时，每一个谷粒的贡献就大于0了，而达到x后，每一个谷粒的贡献又被当作0。这可比第二次数学危机中讨论的无穷小更神奇。
哲学上称为量变与质变的跳跃或涌现，一般的逻辑学称“秃”，“堆”是形状量词，像米，克是数量词，与形状无关。
如下图，可以说最少四颗谷粒就能构成“堆”，但一万个米粒平铺在地面上，我们也不能称为堆。
换一个角度看：谷堆悖论的也可以通过“信息缺失”或“维度缺失”来解释，即米粒多少不能充分决定米粒是否能成堆。秃头悖论貌似只由头发的数量来决定，但其实也不是，还有头皮的面积，头发的长短，头发的粗细，观察者的角度都可以影响我们作出“秃头”的判断。本质上说，这是真实世界与认知世界的差异导致的导论，在【影响7】中会部分地展开。
假如我们把问题的所有一切背景因素都设定好，再来讨论秃头悖论呢？仍然是以下的图，x处于一个区间内，真正的问题在哪里呢？在我们逻辑上认为的“所有一切背景”，并不是真的“所有”，即使是无限多个背景因素都被设计，但无限个只能是（N）级别，实际上存在（R）级别因素。
现实中比较接近这种情况是：化学中测试液体的PH值，给你一个试纸，和一个比色卡，凭借肉眼估算试纸的颜色和比色卡上哪个色更接近。这在纺织业，化妆品行业也有类似的情况。即使人们将颜色也数字化后，然后很难区分什么是红色什么是黄色，只能强行设立一个波长值为分界线。
如果我们再将颜色的问题反向思考，使用还原法，则可以知道为什么达不到“真实”，具体见【影响7】。
从根本上来说：因为“形状”量词与真实有对应关系，和“数字”量词，只与逻辑过程有对应关系。因为“形状”量词的概念产生过程本身是一个对“真实”信息无限压缩的过程（见【影响7】），我们直接使用时，如2瓶水，逻辑时损是0，但当我们要回到“真实”信息无限压缩的过程，逻辑的时损就不是0了，我们甚至不知道什么时候“确认完成”。这和康托尔悖论是类似的。
再回到语言说上：“X的Y”中的X，我们一般称为“属性”，“状态”，“维度”，但因为我们同时也会使用“均速直线运动的物体”，这种表述，这里面的X可以有现实的时间概念影响，也可以有逻辑的时损影响，所以“X的Y”这种短语，从形式语言，图灵机（如图灵机不可判断问题），机器学习，人工智能等方面都有着深层的联系。
哲学上说，运动是绝对的，即使在逻辑领域也是如此。
【影响4】量子力学和测不准原理
量子力学源自黑体幅射和氢原子光谱；测不准原理，数学上来自矩阵运算的不可逆性。
但也可以借【影响3】的讨论进行发散性思维的说明，可以思考一下以下问题：
1.理发师在“刮胡子”的过程中，是一直在刮胡子，还是一直刮刮停停呢？
2.你可以知道理发师某一个时刻的状态，但你不知道它的下一个时刻的状态是什么？
现实中，下一个时刻真的存在吗？按照量子力学的假设，是存在的，普朗克时间。这个时间计算的结果很小。但如果考虑到实数的连续性的单位的△1话，时间即是连续的，也是一份一份的，即量子化的，这本身并不冲突。那么普朗克时间是不是△1的一个近似值，量子力学的微观力学和相对论的宏观力学，是否就有可以桥接的地方了呢？
电子云是一个非常难描述和理解的模型，可以思考一个问题：电子的运动是不是连续的？从量子力学的模型时，时间和空间上，都是不连续的，跳跃的，所以只能用概率来描述。
电子云其实只是一个近似的画法，电子出现在指定位置的时间概率，它是理发师状态曲线的一种升级和变形。
物理学四大神兽之一：薛定谔的猫，面临的也是类似的情况。很多人解读为：观察者决定了猫的状态，甚至说意识决定了物质。
猫任意一个时刻只能是生或死两种状态，猫在一个时刻是生，下一个时刻有两种可能生或死，但猫在一个时刻死后，之后的任何时刻也是死的。猫的生命状态曲线，也是画不出来。
但与理发师的状态曲线，画不出来，不代表它不存在。只要曲线存在，那么猫就不会处于既生又死的状态。猫的状态由毒气瓶的状态决定，毒气瓶的状态由机关的状态决定，机关的状态由镭的衰变决定，所以镭的衰变曲线存在，那么猫的生命状态曲线就会存在。而镭的衰变状态，量子力学认为是衰变和没有衰变两种状态的叠加。那么镭的衰变曲线存在吗？
如果以普朗克时间为单位，那么在一个普朗克时间的开始和结束的两个时刻，镭的衰变状态是确定的，在普朗克时间的中间过程，镭的衰变状态是不确定的。量子力学的解释类似于：不必思考比普朗克时间小的时间里镭的衰变状态。这种解释最诡异的事情是：即使不考虑比普朗克时间小的时间，但是要决定每一个比普朗克时间的开始和结束，非常困难，因为只有从0刻起，你才能找到每一个普朗克时间的开始和结束，这就要求猫，毒气瓶，机关，镭要有同一个“绝对的”时间起点和时间轴，不然它们之间的普朗克时间会形成错位，也一样可以导致"猫既死又活“的状态出现，而这个绝对的时间轴是不是相对论所否定的？当把观察者的时间轴也考虑进来，或者再加一个以接近光速的观察者来看这个猫又会是如何的状态？
但是如果按照△1为单位呢，又会发生什么情况？本人智力和知识有限，只能停下。
【影响5】圆周率π的认识。
π的计算从几何的割圆术到分析法，到电子计算机加入，它的计算包括了太多太多的故事。
如（引自百度百科）：
1965年，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本数学专著，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。2015年，罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式 。
π是无理数，也是超越数，证明的过程很复杂，主要使用到泰勒级数，类似的讨论在【影响2】中有所展开，这里不继续展开。
下面想讨论一下：合取数。
合取数，定义为：包含所有数字组合的数。
一个典型的合取数是0.123456789101112131415……，该数叫做钱珀瑙恩常数，由英国统计学家Champernowne于1933年提出，这个数中就包含了一切数字组合，无论是你的银行卡 密码，还是你玩的游戏存档数据，都能在这个数中找到。
另外，我们把数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数，称之为正规数,根据定义，如果一个数是正规数，那么这个数肯定也是合取数。
有趣的是，一个数的正规与否，还和进制有关，数学家发现，有些数在十进制下是正规数，但在六进制下就成了非正规数，对于所有进制下都正规的数，我们称之为绝对正规数。
数字组合，是一个长度有限的数字，把所有长度有限的数字按照一定的方式拼接在一起就能得到一个合取数。排序拼接是第一种方式，如钱珀瑙恩常数。集合是无序的，自然数集N，把N中的元素以各种可能的顺序拼接在一起所形成的数的集合为合取数。顺序的可能性，即是我们常说的”排列“运算有关。
如3个数的排列可能性为3！=6种。
对于自然数的排列可能性(N)!=(R)，(N)表示自然数的个数，(R)表示实数的个数，这已被证明。
但这个问题还可以从语言学的角度看，如无限猴子猜想。
根据维基百科信息，2000年时，数学家"证明"了二进制下的圆周率π是正规性数，该证明由一个有关混沌理论的合理猜想导出，但该猜想尚未被完全证明。
1909年，一本名为《为未来竞争》的书籍中，谈到这么一个有趣的"实验"——无限猴子定律。
其中一种描述为：一只猴子坐在电脑桌前，随机敲着键盘，只要给它无限的时间，它就能敲出一本完整的《哈姆雷特》，甚至可以是任何文章。
可以把猴子的键盘做一个替换，换成是0-9的数字键盘。那么猴子是否就可以打出任意一个自然数呢？
1956年，N.乔姆斯基发表了用形式语言方法研究自然语言的第一篇文章。他对语言的定义方法是：给定一组符号（一般是有限多个），称为字母表，以∑表之。又以∑*表示由∑中字母组成的所有符号串（或称字，也包括空字）的集合。则∑*的每个子集都是∑上的一个语言。例如，若令∑为26个拉丁字母加上空格和标点符号，则每个英语句子都是∑*中的一个元素，所有合法的英语句子的集合是∑*的一个子集，它构成一个语言。
本人将问题作两个转换（不知道是否严格等价）：
假设把每一个自然数都做成一个按扭，然后把这些按扭放在一个无限大的篮子里面，一个猴子坐在一条生线上，这是一条无限长的皮带，猴子负责把篮子中的按扭拿出来，然后按拿出来的顺序钉在皮带上。这样一个猴子就可以产生一个合取数。
我们提供无数个这种生产线，只要足够多，剔除了相同的合取数后，我们仍可多到可以产生所有的合取数。
我们是否要根据“不动点”定理得到任意的两个猴子，在相同的位置上，钉下来相同的自然N呢？如果成立，是否就可转化成不用无数猴子做一次，而只要一个猴子做无数次呢？
假设数轴上有一个区间【0，1】，我们知道这个线段上的点是无穷多个，而且比自然数的无穷多个还要多。猴子不断地从这个区间中取一个数扔掉，猴子最终是可以把整个区间的数都扔完的。而在这个过程中，我们假设猴子扔出来的数是1/n时，我们把n放在一条皮带上，那么这个猴子，只要有足够长的时间，也是可以把所有的N放在皮带上的。
我们再假设，其实我们已经准备了无限条皮带，当n放在第一条皮带时，第么第二条皮带就放n 1,第三条皮带就放n 2，如此类推，另外我们再加n-1倍（N）条的皮带，把每一条皮带已有的部分先复制n-1份，然后再分别追加存放1到n-1。
这样是否一个猴子在产生一个合取数的同时，也就产生了所有的合取数呢？
本人相信：通过上述的转换，将无限问题，转为组合问题，再利用证明布丰投针问题的概率值是 1/π的相关思想和技巧，应该可以证明π是合取数，甚至可能是任意进制数下的合取数。
π是合取数，与π的泰勒展开，以及沃利斯的连分数表达式有着深层的本质上的一致性。
欧拉公式e^iπ 1=0，除了e,i,π，剩下是0，1，这两个是任何进制数都是必要的元素，如果π是合取数，那么可能e也是合取数，那样才是真正的“自然常数”。
为什么没有最小的是2进制数？因为1进制是0压缩率的记法，关于压缩在影响【7】有讨论。
【影响6】化学元素周期表
已知化学元素周期表中有一百多种元素，但理论上应该存在在更多的，甚至是无数种化学元素，而这无数种化学元素，在人的逻辑理念中，最多只能达到(N)的级别，真实的宇宙或世界是否可以存在(R)个质子的“超级元素”，哪怕这个超级元素的稳定时间接近于或等于0?脑洞一下：物理学中的宇宙大爆炸是否与超级元素有关？
类似的，有机物的分子构成有无限种可能，单质或混合物的数量也是无限种可能。那么所谓的“提纯”与24K黄金的意义的真实本质是什么？
【影响7】还原论，奥卡姆剃刀原则，证伪主义，《道德经》
二分法在古代文明中有所表述：
一尺之捶，日取其半，万世不竭。
我们换个角度，把日取其半的部分再拼接起来，是否可以得到原来的一尺之捶呢？
也许日取其半，会让人感觉缓慢，但如果换成日取九成呢？正是“0.9...”（其实二分法，如果转为二进制数是："0.1..."是类似的)。
正如上文提到的0.9...(N)<1，0.9...(R)=1，人将取下来的部分再拼接回，这个拼的动作可以进行多少次？
个人认为：在有条件的现实中，人是可以做到(R)的级别的；在逻辑认知过程中，人是只可以做到(N)的级别。
所谓在有条件的现实中，可以打个比方：理想化的图灵机，它有无限的能量，无限长的纸带。但这里的无限是(N)级还是(R)级，个人猜测当年图灵的脑里只是(N)级，但理想化得更“彻底”，应该是(R)级，于是才能影响图灵机的算力从(N)级提升到(R)级。对于人拼接也一样，假设给的食物让人能活(N)级天，还是(R)级天？能达到(R)级天，人就能将取下来的部分组合成原来的一尺之捶，正如现实中的阿基里斯是肯定可以追上乌龟一样。
在逻辑认知过程中，一个人只要投入一个逻辑运算过程，如数数，1，2，3，4 ... ，那么人的逻辑就没办法“完成”这个过程，更达不到超出（N）而达到（R）。这就是计算机编程中说的“死循环”，永不结束。但人的意识是多核的，如同计算机CPU一样，用一个核心去检测另一个核心是否进入“死循环”，人的意识和逻辑也一样，启动另一个逻辑运算过程去“承认”刚刚的“过程要继续，中止或已经完成”，而电脑能做的选择是“过程要继续，或中止”，无法自动作出“已经完成”的选择，因为它真的没有完成，此时就需要人的介入，如电脑管家软件会提示“是否中止XXX程序”，人当然可以继续用算法模拟人做出这个选择，但总有部分选择要留给“人”，人工智能可以很接近人，但毕竟不是人，这或许就是人和人工智能的根本区别。
二分法和自然科学中使用的”还原论“是一致的。讨论还原论，可以从元素论和原子论的简史开始：
古代中国，气一元论，即天地万物即是一气所生，元自一炁也。气化其小无内，其大无外
西方第一位哲学家泰勒斯（约公元前625-547）认为宇宙万物都是由水这种基本元素构成的。
气元素：泰勒斯的学生阿那克西曼德（约公元前610－546）认为基本元素不可能是水，而是某种不明确的无限物质。阿那克西曼德的学生阿那克西美尼（约公元前585－525）进一步解析到基本元素是气，气稀释成了火，浓缩则成了风，风浓缩成了云，云浓缩成了水，水浓缩成了石头，然后由这一切构成了万物。
火元素：赫拉克利特（约公元前535－475）认为万物由火而生，所以永远处于变化之中。
土元素及四元素说的形成：恩培多克勒（约公元前490-430），综合了前人的看法，再添加“土”，遂有水、气、火、土四元素。
四元素形象化（象数派）：柏拉图（公元前427－347）将四元素形象化，用几何观点看待，认为组成四元素的原子形状分别是体现其性质的一种正多面体。正多面体共有5种，还剩下一种正十二面体没有元素可与之对应，柏拉图说它是神用来排列天空的星座的。
四元素说的发展：柏拉图的学生亚里士多德（公元前384－322）认为组成天体的元素与地球不同，是纯粹的“以太”，是第五元素，对应于正十二面体。亚里斯多德在他老师四元素几何化的基础上，将四元素说发展成为一种体系。这个思想体系有效的支撑了地心说。
德谟克利特探讨了物质结构的问题，提出了原子论的思想。他认为万物的本原是原子和虚空。原子是一种最后的不可分割的物质微粒，它的基本属性是"充实性"，每个原子都是毫无空隙的。原子的数目是无穷的，它们之间没有性质的区别，只有形状、体积和序列的不同。运动是原子固有的属性 。原子永远运动于无限的虚空之中，它们互相结合起来，就产生了各种不同的复合物。
由道尔顿引进的原子学说是科学发展上最重要的里程碑之一。道尔顿使物质由原子组成这一概念成为现实的、有用假说的。他给元素指定符号并将符号结合起来成为化合物。按照道尔顿的假说，元素是由原子组成的，同一种元素的所有原子都相同。并且说化合物是由一定数目的某一元素的原子与一定数目的另一元素的原子化合而成（或一般说来是由两种或两种以上元素的原子各按一定数目化合而成）。这样就对物质不灭定律和定比定律作出了简明解释。道尔顿还提出另一定律 倍比定律。该定律表明：当两种元素化合物形成一种以上化合物时，则与同一重量甲元素化合的乙元素，在各种化合物中的重量比，形成简单整数。
东西方都有类似的元素说起源，气一元论，和水元素说，但后来的发展就不同了。
西方把一种元素“分”为不相同的元素，并让他们互不相同；一种是将空间“分”为不能想交的部分；道尔顿的原子论是把前面两者结合起来，先承认了空间上的"分"法，产生原子，又引入自然数来“分”产生元素。值得注意的是，西方传统的所有分法，都要求互不相同。这样必然会导致与二分法一样的结果：人类在不断地切割物体的同时，说"稍后“再拼接起来就行了。即使我们把"稍后“忽略，人类能做的切割和和拼接能做到(N)级还是(R)级？
当然真实的世界是(N)级还是(R)级，我们还不知道。但个人可以提供一个角度：历法。只要人类历史只要还使用公元XXX年，或人类纪元XXX年，那么人类的历史就是就是(N)级的，也就是说切割都完成不了，更不要说拼接了，更何况"稍后“并不为0。
脑洞一下：从历法这个角度，所有末日预言是不是都应该否认？或者人类会发明新型的”实数型“历法？还有正如相对论中任何两个物体的时钟不一样，新型的”相对“历法。最后还能否综合成为”实数相对“历法？
哲学家和科学家一直讨论的还原论的真正问题是落实在：
事物分割允许的无限性，要比理论上人所能还原的无限性要大得多。
叠加科学的另一个基础逻辑原则：奥卡姆剃刀原则，它会尽量地延长"稍后“的长度，那么理认上人所能还原的无限性会进一步地缩小，而这个原则带来的好处也是显而易见的：科学的理论都会保持尽可能的”苗条“。
那么科学的这个难题还是否有破解之法？有，其实也很简单，引入一个或多个新的”还原论“，并建立足够的”跨理论“学科，即”跨理论“的理论。简单地说，一个西瓜不只一种切法，如果你使用一一种切法，拼不回来原来的西瓜，那么用两种不同切法，允许两种切法得到的块有”共同的部分“，把所有块都”加“起来，注意不能引入一个减去”共同的部分“的过程，就可以得到原来的西瓜。
我们回头看看中国的发展。既没有引入”互不相交“的空间，也没引入”互不相同“的自然数。气一直保持其”跨空间尺度“，跨”数量尺度“的特点，古代先贤先后引入了”阴阳“和”五行“。阴阳类似于二分法，但它不是针对”空间“，它是一类”切法“的总称，具体的切法有：空间的阴阳如山阴和山阳，时间的阴阳如昼阳夜阴，数字的阴阳，运动的阴阳如上升为阳下降为阴等等，阴阳是其实更像一个“切法”的设计原则，只要人可以观察到或发掘出一个新的维度，那么马上就可以进行阴阳的切割。五行类似于阴阳，五色，五音，五味等等。阴阳五行是两种“切法”的设计原则，在这两个原则指导下，人类要认知一个事物，就可以用”已知的维度“来指导切割，再拼结认识，如果仍有”未知“，那么可以有两种选择：一是在某一个维度下进行迭代切割，如空间，一座房子所处位置山阳，但各个房间又可以再分五行，这和科学的还原法类似；二是观察或发掘新的“维度”，只要有新的维度，或子维度，就能补充信息，就可以还原一个更“真实”的事物。
不执着于单一维度的切割是中国古代文化中认识论的一个特点，宋代理学，朱熹等大儒提的“格物致知”更是有意无意地这个观念推向极端，让学者迷失的“无限的维度”之中。这也是本人对《中国科技史》李约瑟提出的“李约瑟之谜”的一个回答。同时现代科学按照还原论的指导，最终也要迷失在“无限的尺度和精度”之中。
不过认知论的历史进程还是有其必然性，该来的，还是要来，现在时下流行的“数据发掘和分析”，“人工智能”，分析师和算法师们正慢慢进入发掘维度的快车道，创造出来的维度将会越来越多，人类还是要将要进入一个“维度迷失”的时期，之到时期的长短，可能要取决于新的“科学观”的建立和普及了。
总之，要认识到一个真实的事物，保持它的“整体性”很重要，而保持整体性的手段有目前只有一种：两种以上独立的切割方法。切割方法和手段总容易被人滥用，如还原法，如程朱理学，这就是本人的整体论观。
回过头看，采用还原论方式进行研究的粒子物理学，永远都只是一个近似值，而不是一个真实值。这与最近一段时间关于中国是否要建高能粒子对撞机的话题有关，正如杨振宁说：用对撞机研究高能物理的盛宴已过。因为“稍后”在此刻还没完成，提前切割，意义不大。
那么以物理为基础的化学，以化学为基础的生物学，以生物学为基础的现代医学，都可以说从学科的一起步，也就是第一性原理的规定下，就出现失真。
网络上关于中医和西医的讨论很多，从“分法”论上，中医是可以作为和西医完全不同的理论系统，对我们认识人体进行补充，让我们尽快认识完整的人体，这需要保持中医理论的独立性。可惜很多人都在讨论“废医验药”，这种消灭中医的手段。
当然，再回过头来思考：真实的世界是(N)级还是(R)级，我们还不知道，如果如量子力学说的那样，那么真实的世界是(N)级。个人还是倾向于真实的世界是(R)级或者更高，【如果存在更高】，不然人的认知，包括产生实数概念都要全面“退化”，因为认识“超越”了现实，而我们每个人都“相信”认知的级别只能小于或等于现实，所有哲学家都是在讨论能不能等于，而不是大于。
脑洞一下：假设人的认知是可以超越现实的（就如有人脑洞物体运动速度超过光速），那会发生什么情况？人的认识会可以转移到新的载体，人可以设计人，人可以设计宇宙，人可以成为神。
电影《头文字D》中有一句经典的台词：其实神也是人，只是神做到了人做不到的事情，所以成了神。
回到当下的逻辑或哲学（真实的世界是(R)级），可以说：任何一个整体，即使采用无限的分割，不一定可以能累加成为原来的整体，特别是考虑到“累加”的行为的现实性，每一个人按一天叠加一次，人的寿命无限长，一个人也只能是叠加N次，而所有的人，70亿，80亿人，一齐累加，也仍然达不到原来的整体。
自科学产生巨大的影响力后，人们对科学的思考就没有停止过，无论是定义科学还是质疑科学，希望分清科学和非科学的界线。证伪主义把科学定义为可证伪的，然后任何一个学科当前的理论也是必然能被证伪的，也必然要被证伪的。那么我们还需要科学吗？
按照”分法“理论，只用一种切法，是永远得到真正的科学的，正如证伪主义被迪昂-蒯因问题所质疑。如果进一步推广：唯物论，唯心论，二元论都不可能还原出一个正实的世界。
人认识世界以概念为开端，第一批概念都是从真实世界中来的，与真实的世界中的事物对应，如原始人甲说：有一只狼，现实中是有狼对应的，后面才产生了各种抽象的概念。这是我们再习以为常的事情了，但是老子却不这么认为：
道可道，非常道，名可名，非常名。
简单的12个字被无数人解读过，本人也作一个解读：
世界本就是世界，混然一体，人们从创造“狼”这样的词开始，将世界划分为一个个的概念，很多概念一开始都认为边界是清晰的，狼就是狼，但后来发现不是，任何一个概念的边界必须模糊化，因为狼指代了昨天的那只，就不能指代今天的这只了。如果不断地创建概念，而每一个概念都只用一次的话，那么人类的大脑是不够用的，人类也是不可能有所谓的文化传承的，其本质上是信息的压缩。所以老子认为“常名”，即平常使用的概念，都是有很强的局限性，这种局限性，就是无法与现实产生边界清晰的对应，而且即使产生了对边界清晰的对应，那么人类所能认识的事物个数即使是无限的，但人类从世界划分概念的行为开始，这种逻辑过程最终能导致的就是（N）级别的事物，离真实的世界还差一点点。真实世界是由道在推动的，而认知的世界是由名在推动的，认知的世界永远无法等于真实世界，缺失的那一点点，老子称为“无”，而“有生于无”。
上面提到概念是人对现实世界的一种压缩后信息，人不是第一个压缩信息的事物，更早的应该是原始生命，如我们说DNA是细胞的遗传信息的主要载体。多细胞生物的出现，器官分化出现，生物变得越来越复杂，那么其处理的信息量也越来越多，而人类的出现，也是进一步拔高了信息处理的量级。人类的意识如何产生，和生物学的寒武纪大部爆一样的”神秘“，但其实在【影响3】中的谷堆悖论里有部分展开。
抽象概念是圣概念的进一步压缩，接着抽象的抽象，目前个人认为最能体现信息压缩的程度的概念是欧拉公式，毕达哥拉斯学派推崇自然数，物理界推崇麦克斯韦方程组。
而面对信息的压缩，必须有正确的解压方式才行，现代社会的分工，就类似将各种解压算法教会某一岗位的人，不同的岗位有不同的职责，通才已经不可能再出现，但交差学科的出现，也正表明了对这种趋势的质疑。而中国传统文化正是带着这种”交差“性，慢慢地随着中国的重新崛起，而重回到世人的面前，正如古希腊文化在沉寂千年后，又尸变回到世人面前，引发文艺复兴和启蒙运动一样，不过历史正在进行中，无人敢冠以一个名词，而统一称为中国特色的道路。
中国文化虽经过百年沉寂，但他毕竟已经融入中国人的骨髓，它在全面学习西方科学的同时，也在实践领域深深地重构着西方科学的短板，才有了中国崛起的奇迹。只是随着”学习西方“的口号进一步深入，社会的分工制度和教育制度等因素的影响下，中国传统文化的压缩方式，现代人正大量缺失了正确的解压方式，一味地使”现代科学“的解压方式，得到乱码后，都要将古代文化归为玄学。如果现代社会不作出调整，可以预见中国传统文化也只能以“尸变”的方式回归中国。何为尸变？通过翻译其他语言的版本，重新翻译成为中文。
网络上流传着一种“用科学理论去否定传统文化经验（包括中医）”的风气，联系“分法”的思维，个人提出一个原则：
经验只能被经验替代。
思维只能被思维替代。
技术只能被技术替代。
理论只能被理论替代或否定。
替代或否定的必要条件是：它们使用“相同或等效的切割方法”。
经验和经验可以共存。
思维和思维可以共存。
技术和技术可以共存。
理论和理论可以共存。
共存的必要条件是：它们使用“不同切割方法”。
即“跨层次打压”是不合理的。
本体论，认知论，语言论是西方哲学的三个重要阶段，是《道德经》中的智慧，是后人（如我）的过度解读还是先贤的高精尖（这里不使用“超前”，因为认识世界的问题一样存在，只是东西方把握和切入的方法不同）创造呢？老子作为图书馆管理员，掌握当时最高精尖全的信息，个人认为这是他的智慧创造的一个重要基础，而现代人，可能更习惯了吸纳海量的低密度的信息，但压缩出来的成果甚少，俗称快餐文化。
最后顺便提一下《易经》，八卦是一个特别的符号系统，后来还推广出六十四卦，与阴阳五行的概念一样，可以认为是先贤将他所看到的现实，以高度压缩的方式，压缩进入卦象符号之中，这种高度的压缩以至于后人没有一个人找到正确的解压方式，如果反过来看，则是任何一个人的解压方式都能从这个符号系统中解压出“有用的信息”，最基础的元素是爻，分阴阳，一卦三爻，为什么是三爻？因为它有“中”，即它同时体现了阴阳和中庸的思维，这或许就是它被称为“群经之首”的原因。从“分割”角看它，他提供了两种独立的分割方法，也是符合“整体论”的。阴阳五行平衡（中庸），是中医的核心，本质上来说提供了三种独立的分割方法，也是符合“整体论”的。
【影响8】生物学和医学
生命的形式是否只有细胞一种？或细胞和病毒两种？生物学最重要的一个结论：生命树，按域界门纲目科属种的方式把生命定位在树上，但分类的标准是以细胞结构或器官结构的”属性“为特征标签的，为了应对一些区分模糊的生物，又需要设置亚科，亚属，亚种。人类分为白种人，黄种人，黑种人，棕色人种等就是亚种。但生命树真的能稳定吗？新的物种会被发现，或新的物种会演化出来吗？
人体是细胞的集合，但是人体又离不开体内的细菌，离不开环境，那么人到底是什么？人生病到底是不是可以用解剖学来解决，穷尽器官，穷尽组织，穷尽细胞，穷尽蛋白质，穷尽基因，穷尽DNA的方式来达到？现代医学仍在这条路上不断地奔跑。
现代医学还有现两个方向也是一直在奔跑：一是疾病的命名和分类，与生命树类似；二是制药，临床实验，大样本随机双盲实验都是药品上市的门槛。
【影响9】降维打击，维度
康托尔成功的证明了一条直线上的点可以和平面上的点意义对应，甚至也可以和空间中的点一一对应，最终一厘米长的线段中的点和地球内部的点一样多。
一条曲线可以铺满一个平面，也可以填满一个空间。
分形学里：有限的面积下，可以产生一条无限长度的曲线。
网络上也很多人在讨论升维和降维，如刘丰教授。
那么科幻小说中的”降维“打击还是必然的吗？是不是可以发生”升维“打击？
数据分析和人工智能领域，以维度的数量为”重点指标“，维度越多，越接近真实，但当维度越向于无穷大时，真的就可以是真实了吗？显然，通过数学归纳法得到的多维度的规律和认知是有效的，但它还不能达到真实。
影响还有很多，本人是写不完的了。
面对“无限大”，“无数多”，我们也许直面可以得到更多的力量——逻辑的力量。
后记：花了整整3天时间整理，远超原计划的1天时间。希望本文能对一些人提供一点思路。2020-1-31
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