数学中有不少公式,有些同学刚学习时死记硬背,但是过了一段时间后,有些不常用的公式根本就记不住。因此,在学习时,要记住这些公式是怎么推导得到的。本篇文章主要介绍三角形内切圆半径的推导过程,三角形内切圆的半角与三角形的周长和面积相关。

三角形的内切圆面积怎么计算(三角形内切圆半径的推导)(1)

我们首先要知道三角形的内心是如何确定的,三角形的内心是三个角角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等,那么怎么得到一般三角形内切圆的半径呢?

三角形的内切圆面积怎么计算(三角形内切圆半径的推导)(2)

其实,我们可以借助等面积法来解决,由内心的性质可以得到OD=OE=OF,△ABC可以分割成△OAB、△OBC和△OAC,那么S△ABC=S△OAB S△OBC S△OAC,代入字母可以得到:AB×OD÷2 BC×OE÷2 AC×OF÷2=S,由于OD=OE=OF=r,那么可以得到(AB BC AC)×r=2S。而AB BC AC是三角形的周长,可用C或l来表示,即s=1/2lr,那么r=2s/l。这个公式中的字母与扇形的面积公式一样,因此,可以通过记住扇形的面积公式来记住三角形内切圆的半径公式。

当然,可以发现,推导过程也并没有很繁琐,利用了内心的性质和等面积法即可得到。

这是对所有的三角形都适用的公式,无论这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形,都可以利用该公式求出三角形内切圆的半径。

三角形的内切圆面积怎么计算(三角形内切圆半径的推导)(3)

直角三角形比较特殊,那么有没有其它计算公式呢?

三角形的内切圆面积怎么计算(三角形内切圆半径的推导)(4)

首先,直角三角形内切圆的半径也可以借助等面积法,面积可以用两直角边的乘积的一半表示,因此r=ab/(a b c),a、b为直角边长,c为斜边长。

三角形的内切圆面积怎么计算(三角形内切圆半径的推导)(5)

接着,我们借助切线长定理再来研究下三角形内切圆的半径。首先,由内心的性质可以得到OD=OE=OF,由切线可知∠OEC=∠OFC=90°,那么可以得到四边形OECF为正方形。由切线长定理可以得到CE=CF,AE=AD,BE=BD,设CE=CF=r,那么AE=AD=b-r,BD=BF=a-r,由于AB=AD BD,那么a-r b-r=c,解得:r=(a b-c)/2.

三角形的内切圆面积怎么计算(三角形内切圆半径的推导)(6)

因此,直角三角形内切圆的半径有两个,第一个就是内切圆的半径等于三角形面积的两倍与周长的比(商),第二个就是内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半。

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