解法1：构建一线三等角模型 半角模型 （学生解法——非常巧妙）
构建半角模型是破题的关键所在，利用翻折的性质结合等腰三角形三线合一，得到等腰直角三角形CQM，然后顺势构建一线三垂直模型，这是解法的第二个精妙之处，将线段AQ,BP放置于两个有公共临边的直角三角形中，AN很好的充当了桥梁的作用，然后证明△AQN是等腰直角三角形，将问题破解！
解法2：旋转法 截长补短
连接BQ，由AB=AD，联想到旋转法，在DQ上截取DM=BQ（而BQ=PQ,从而 DM=PQ，继而得到 DP=QM，这可是本解法的精妙之处，将 DP与AQ两条分散的线段集中到一个三角形中，秒），然后借助翻折模型，证出∠ABQ=∠ADM，这是破解本题的第二个关键点，为下面的全等构造了条件。最后由倒角模型，得出∠AQM为直角，顺势破解本题。
上面两种解法，很巧妙，感谢成虎老师、王锐恒同学提供精彩的破题思路！下面两种解法，比较繁琐，是自己结合上面两种解法拓展出来的，自然，最丑陋的东西，要放在最后：
解法3：平移构造平行四边形 翻折模型 蝴蝶模型
这种解法，通过构造平行四边形，利用平移的性质，将AQ转移至△PDM中，将两条分散的线段集中在一起，思路很接“地气“，学生容易接受。接下来，自然是构造全等三角形，接着借助翻折模型，得到∠ABQ=∠ADQ=∠PAM，利用ASA证明 △ABQ与△DAM全等，得到∠AQB=∠DMA，其中由蝴蝶模型可知∠BQD=∠BAD=90°，最后证出∠PMD为等腰直角三角形，问题破解。
解法4：构造手拉手模型 半角模型
这种解法由BA=AD，联想到构造一个与 △ABQ 牵手的△ADM （是解法1的逆向思维。不过个人觉得学生由题目图形联想到手拉手模型思路会顺畅一些），接下来逆用倒角模型，得到 ∠DAM=∠BAQ ,为全等三角形构造了条件，以后的处理方法与上面的类似，请读者自己思考。其中证明 QM=DP仍然是问题的关键！
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