经常听到有童鞋抱怨7年级的二元一次方程不好学，其实归根结底就是对一元一次方程掌握程度不深，因为一元一次方程就是在为你学习二元一次方程打基础的。尽管如此，你们也不必担心，数学加小编今天就带着你们再次领率一遍一元一次方程，巩固你们的后防线！
一元一次方程
一、基础知识点及定义：
1.等式与等量:用“=”号连接而成的式子叫等式.注意:“等量就能代入”！
随手一试：根据下面的条件能列出方程的是:（ ）
C.a、b之和的60 D.甲的3倍与乙的2倍之差
2.等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍
是等式；
随手一试：(1)下列变形正确的是（ ）
A.若x=y，则x 2m=y 2m B.若a=b，则a c=b﹣c
(2)已知ax=ay，下列等式中成立的是（ ）
A.x=yB.ax 1=ay﹣1C.ax=﹣ayD.3﹣ax=3﹣ay
3.方程：含未知数的等式，叫方程.
其中是方程的个数为（ ）
A.3 B.4C.5D.6
4.一元一次方程的概念：只含有一个未知数(含未知数项的系数不是零)且
未知数的指数是1(次)的整式方程叫做一元一次方程。一般形式：ax b=0
(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).最简形式：ax=b(x是未知数，ab是
已知数，且a≠0).
随手一试:(1)下列方程中，是一元一次方程的为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.7
(3)已知（a 1）x2﹣(a﹣1)x 8=0是关于x的一元一次方程，求代数式
60（2x 2a）(x﹣a) 208的值．（ ）
A.208 B.-208 C.2008 D.-2008
5.解一元一次方程
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；注意：
“方程的解就能代入”验算！
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍
是等式；
等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式；
(例题解析)x=﹣2是下列（ ）方程的解．
解析：A.把x=﹣2代入方程得：左边=﹣10 7=﹣3，右边=7﹣4=11，左边≠右
边，即x=﹣2不是方程的解；
B.把x=﹣2代入方程得：左边=﹣12﹣8=﹣20，右边=﹣16﹣4=﹣20，左边=右
边，即x=﹣2是方程的解；
C.把x=﹣2代入方程得：左边=﹣6﹣2=﹣8，右边=4﹣2=2，左边≠右边，
即x=﹣2不是方程的解；
即x=﹣2不是方程的解，
故选B．
随手一试：如果2x 3=5，那么6x 10等于（ ）
A.15B.16C.17D.34
6.移项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的
变形叫做移项.
移项依据:(1)移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；
(2)系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2.
移项作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含
未知数的项合并，右边对常数项合并.
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
随手一试：下列方程变形中，正确的是（ ）
A.方程3x﹣2=2x 1，移项，得3x﹣2x=﹣1 2
B.方程3﹣x=2﹣5(x﹣1)，去括号，得3﹣x=2﹣5x﹣1
7.解一元一次方程的一般步骤：整理方程、去分母、去括号、移项、合并同
类项、未知数的系数化为1；(检验方程的解).
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，
若分子是多项式，要加括号.
（例题解析）方程3x 2(1﹣x)=4的解是（ ）
分析：方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解
解：去括号得：3x 2﹣2x=4，
解得：x=2，
故选C．
A.1﹣3(x﹣2)=2(x 1) B.6﹣2(x﹣2)=3(x 1)
C.6﹣3(x﹣2)=2(x 1) D.6﹣3x﹣6=2x 2
经过上面的尝试，现在来解解下面几个方程吧，相信你一定可以的
4x-3(20-x)=6x-7(9-x) 4x-3=4-2x
8.用方程解决问题
列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数(元)、列出方
程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列
出方程.
解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系
(例题分析)：一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是70，鸡、猪的腿
数之和是196，求鸡的只数？
审题：关于鸡兔同笼相关问题：已知鸡与猪的头数之和以及两
者腿数之和.
设未知数：设鸡的只数是x，则猪的头数为(70﹣x)头，根据鸡、猪
的腿数之和是196，列方程．
列方程：解：设鸡的只数是x，则猪的头数为(70﹣x)头，
由题意得，2x 4(70﹣x)=196．
解方程： 2x 4(70-x)=196
解：
去括号，得： 2x 280-4x=196
移项，得： 2x-4x=196-280
合并同类项，得： -2x=-84
系数化为1，得： x=42
答： 鸡的只数是42只.
随手一试：（1）某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均
用电量减少2000度，全年用电量15万度．求上半年每月平均用电量？
*（2）中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，
我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，
我们羊数就一样了”．求甲有多少只羊？
9.列一元一次方程解应用题：
读题分析法：多用于“和、差、倍、分”等问题
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大、小、多少、是、共、
合、为、完成、增加、减少、配套”之类的，利用这些关键字列出文字等式，
并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得
到方程.
(例题分析): 某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，
用了12小时 不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x件
零件，则所列方程为（ ）
A.13x=12(x 10) 60B.12(x 10)=13x 60
分析：首先理解题意，找出题中存在的等量关系：实际12小时生产的零件数
=原计划13小时生产的零件数 60，根据此等式列方程即可．
解：设原计划每小时生产x个零件，则实际每小时生产(x 10)个零件．
根据等量关系列方程得：12(x 10)=13x 60．
故选B
随手一试：(1)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件．
已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件．设该企业捐给
乙校矿泉水x件，则下列相等关系成立的是（ ）
A．2x﹣400=2000 B．2x 400=2000
C．2x﹣400=2000﹣xD.2x 400=2000﹣x
(2)某班共有学生x人，其中男生人数占35%，那么女生人数是（ ）
画图分析法:多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照
题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是
解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可
把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.
(例题分析)：小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，
每小时骑12km就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少km？设他家到学
校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（ ）
分析：设他家到学校的路程是xkm，根据每小时骑15km，可早到10分钟，
每小时骑12km就会迟到5分钟，列方程即可
解：设他家到学校的路程是xkm，
故选B．
随手一试:一艘货船从甲岸顺流而下到达乙岸再返回，已知船在静水中的速
度是40km/h，水流速度是10km/h，且从甲岸顺流到达乙岸比从乙岸逆流到达
甲岸所花的时间少1h．设从甲岸到达乙岸的路程为xkm 下列所列方程正
确的是（ ）
10.实际问题的常见类型：
(1)行程问题：包括[相遇、追及(同时不同地出发、同地不同时出发)]
(单位：路程—米、千米；时间—秒、分、时；速度—米／秒、米／分、
千米／小时)
(例题分析)某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时
间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到
学校的路程有多少千米？
分析：找出合适的等量关系，由题意可知，此人不管以多大的速度到达学校路
解：设从家到学校有x千米，
12x 45=20x﹣45
8x=90
解得， x=11.25
答：从家里到学校的路程有11.25千米．
随手一试：甲、乙两人绕湖竞走，绕湖一周4000m，乙的速度是80m/min，
（例题分析）某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，
然后甲，乙合作完成此项工作，求甲一共做了多少天？
分析：首先要理解题意找出题中存在的等量关系：甲完成的工作量 乙完成
的工作量=总的工作量，根据题意我们可以设总的工作量为单位“1“，
根据效率×时间=工作总量的等式，分别用式子表示甲乙的工作量即可列出
方程．
解：设甲一共做了x天，则乙一共做了(x﹣1)天．
随手一试:某工程，甲单独做12天完成，乙单独做8天完成．现在由甲先做3
天，乙再参加做，求完成这项工程乙还需要几天？
（例题分析）某种商品的进价为每件180元，现按标价的九折销售时，利润率
为15.2%，求这种商品的标价为多少元？
分析：设这种商品的标价为每件x元，根据按标价的九折销售为0.9x，利润率
解：设这种商品的标价为每件x元，
由题意得，0.9x﹣180=180×15.2%．
解得：x=230.4
答：这种商品的标价为230.4元.
随手一试:(1)某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，售
价均为1955元，则在这次生意中商人是赔了还是赚了？
(2)某电器按成本价提高30%后标价，再打八折销售，售价为2080元．求该电
器的成本价为多少元？
（例题分析）李明五年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和
为3600元，请你帮李明算一算这种储蓄的年利率.
即可列出相关方程求解.
解：设年利率为x.
由题意得， 3000 3000×x×5=3600
解得， x=0.04
答；年利率为4％.
随手一试：小张以两种形式储蓄了500元，第一种的年利率为3.7%，第二种
的年利率为2.25%,一年后得到利息为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的
钱数分别是多少？
（例题解析）某种酒精溶液里纯酒精与水的比例为1︰2，现在加进纯酒精120g
后配成浓度为75%的酒精溶液，问原有酒精溶液多少克？
出方程.
设原来有酒精溶液为xg,则现在的酒精溶液为（x 120）g，水为2x.
解：设原来有酒精溶液为xg,
解得， x=24
答：原来有酒精溶液为24g.
随手一试：一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩
下麦田的20%，结果剩下6公顷麦田未收割，这块麦田一共有多少公顷？
(6)顺逆流(顺逆风)问题：顺流速度=静水速度 水流速度，
逆流速度=静水速度-水流速度：
（例题解析）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若
船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米？
分析：轮船沿江从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，由于
船速为26千米/时，水速为2千米/时，则其顺流行驶的速度为26 2=28千米/时，
逆流行驶的速度为：26﹣2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，
比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关系：轮船从A港顺流行驶到B港所用
的时间=它从B港返回A港的时间﹣3小时，据此可列出方程
解：设A港和B港相距x千米，可得方程：
答：AB两港相距504千米.
随手一试：一架飞机在A，B两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，
风速为24千米/小时．求A、B两城之间的距离？
(7)等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高； 圆柱的体积=底面积×高；
（例题解析）有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长4厘米、
宽2厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？
分析：本题涉及到等积变形，即：锻造前的体积=锻造后的体积 为出发点，
熔铸前的正方体体积与熔铸后的长方体体积相等。
解：设铸成后铜块高度为x.
4×4×4=4×2×x
解得， x=8
答：铸成后铜块高度为8cm.
随手一试：一个长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，长
方形变成正方形，求正方形的边长？
(8)周长、面积、体积问题：
(例题解析)如图，矩形ABCD被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积
等于1，则矩形ABCD的面积大小？
解：∵最小正方形的面积等于1，
∴最小正方形的边长为1，
设右下角的正方形的边长为x．
∴AB=x 1 (x 2)=2x 3，BC=2x (x 1)=3x 1，
∵最大正方形可表示为2x﹣1，也可表示为x 3，
∴2x﹣1=x 3，
解得x=4，
∴AB=11，BC=13，
∴矩形的面积为11×13=143，
答：矩形ABCD的面积为143.
随手一试：在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图
所示，求小长方形的宽AE？
二、(附加)含字母系数的方程与绝对值方程
<一>含字母系数的方程
1.关于x的方程ax=b
(2)当a=0,b≠0时，方程无解；
(3)当a=0,b=0时，方程有无数个解，且解为任意数；
A.x=0B.x=1C.x为任意数D.原方程无解
解：2(x-1) 6=3(x 1)-(x-1)
2x-2 6=3x 3-x 1
2x-3x x=3 1 2-6
0•x=0
∴原方程有无穷多解，x为任意数.
随手一试：解关于x的方程mx-m=nx
2.理解同解方程的定义，再解题：
(1)同解方程的定义为：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫同解方
程；反之如果两个方程是同解方程，那么这两个方程的解是一样的；例如
x 1=4与x 51=54的解都是x=3，这两个方程是同解方程；
且这两个方程的解相同，求它们的解．（）
分析：分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，
根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答．
∵由于①和②是同解方程
解得： a=2
把a=2代入4x﹣a=1得：4x﹣2=1，
随手一试：若关于x的方程2x﹣4=3m和x 2=m有相同的解，则m的值是（ ）
A.10B.﹣10C.8D.﹣8
<二>绝对值方程
归纳1
解可化为|x|=a(a≥0)的绝对值的方程，只需把|x|看成一个整体，其余解题
步骤与解一元一次方程相同
（例题分析）19-|x|=100-10|x|
解：-|x| 10|x|=100-19
9|x|=81
|x|=9
x=±9
归纳2
对于形如|ax b|=c(a≠0,a、b、c为常数)的方程，有下列三种情况：
(1)c>0,ax b=±c可求得两个解.
(3)c<0,无解.
（例题解析）|2x 3|=5
解：由绝对值的意义知，|2x 3|=5
即是 2x 3=±5
由2x 3=5，解得x=1
由2x 3=-5，解得x=-4
(2)解方程|3x 2|=10，方程的解为（ ）
归纳3
对一次方程|ax b|=cx d,可将它变为ax b=±(cx d),并且检验cx d≥0来求
解(注意检验)
（例题解析）解方程：|3x 2|=5x-10
解：(解法一)当3x 2 ≥0时，原方程化为 3x 2=5x-10,
解得，x=6.
当3x 2 <0时，原方程化为 -(3x 2)=5x-10,
解得，x=1.
经检验，x=6位原方程的解.
(解法二) 有绝对值的意义知，|3x 2|=5x-10
即是，3x 2=5x-10 或 3x 2=-(5x-10)
其中，5x-10≥0
分别解这两个方程得：x=6或x=1
经检验，x=6位原方程的解
随手一试：
解方程 |4x-3|-2=3x a(其中|3a-5 4|=8)
,
