一道初中几何题-求梯形的内部线段的长
在等腰梯形ABCD中， 两个底为AB和CD， 其中AB=500， CD=650， 腰长AD和BC的长为333，∠A和∠D的角平分线相交于点P，∠B和∠C的平分线相交于点Q，求PQ的长度。
解法1： 如图做辅助线 PM垂直于AB， PN垂直于DC， PS垂直于AD，根据角度平分线的性质， 有PM=PS=PN， 另外AB平行于DC，显然M，P， N三点共线。
由于AB和DC平行，内错角之和为180°，即：
∠DAB ∠ADC=180°，而对应的一半角之和为90°，即：
∠DAP ∠ADP=90°
所以∠APD=180°-90°=90°， PQ的延长线与AD和BC的交点分别是T 和V，
根据P和Q的对称性， 显然PQ平行于DC，且PT=QV
那么PT和QV是直角三角形APD和直角三角形BQC斜边上的中线， 即：
PT=QV=333/2,
T和Q既然是腰的中点，那么TV就是梯形的中线：所以
TV=（500 650）/2=575
最后PQ=TV-PT-QV=575-333/2-333/2=242
解法2： 如图，延长AP和BQ与底边分别相交于W和X，PW he QX 的交点为Z，
由于DP垂直于AW， 且有AD=AW， 所以DW=333， 同理CX=333
XW=DW CX-CD=333 333-650=16,
由于三角形ZXW相似于三角形三角ZBA， 所以：
此外三角形ZPQ和三角形ZQB相似， 且PQ为中位线，根据上面的比可以算出两个三角形的高所对应的比可以计算出，首先ZY的高所占的比例份数为：
500
而ZF的高度所占的比例份数为：
(500 16)/2-16=242，
PQ/AB=ZF /ZY
带入上面的比例即：
PQ/500=242/500
PQ=242
,
