如何证明数项级数收敛 用根式判断数项级数是否收敛

在此之前，我们已经讲了比较原则和比式判别法今天，我们讲判别数项级数收敛的第三种方法：根式判别法，下面我们就来聊聊关于如何证明数项级数收敛 用根式判断数项级数是否收敛?接下来我们就一起去了解一下吧!

如何证明数项级数收敛 用根式判断数项级数是否收敛

在此之前，我们已经讲了比较原则和比式判别法。今天，我们讲判别数项级数收敛的第三种方法：根式判别法。

[心]根式判别法：设∑uₙ为正项级数，若存在正整数N，当n>N时，有

（ⅰ）ⁿ √uₙ≤L<1，其中L是0与1之间的一个数，则正项级数∑uₙ收敛；

（ⅱ）ⁿ√uₙ>1，则正项级数∑uₙ发散。

[what]接下来我们来分析一下根式判别法。

[玫瑰]我们先对第（ⅰ）种情况进行分析

因为存在一个正整数N,当n>N时，有ⁿ√uₙ≤L，所以uₙ≤Lⁿ。

当n趋近于无穷大时，Lⁿ趋近于0，

由于uₙ≤Lⁿ，uₙ大于零，所以，uₙ也趋近于0。

进而，∑uₙ有可能收敛。

又因为∑Lⁿ=L L² L³ … Lⁿ …=L×(1-Lⁿ)/(1-L)

当n趋近于无穷大时，由于L大于0小于1，所以，∑Lⁿ=L/(1-L)。

所以，∑Lⁿ收敛。

根据级数收敛的比较原则，可知

∑uₙ也收敛。

[玫瑰]接下来我们分析一下第（ⅱ）种情况

当uₙ>1时，若n趋近于无穷大，则uₙ大于1而不是等于0，不满足级数收敛的前提条件，所以，此时，∑uₙ发散。

[赞]数学很枯燥，能从头看到这里你已经很棒了。

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