#创作挑战赛#
在《倚天屠龙记》中有这么一个桥段，赵敏假扮张无忌到武当去赚张三丰，被张无忌戳破。赵敏要张无忌和他的三个手下比武，赢了才肯给他“黑玉断续膏”去治疗六侠殷梨亭，前提条件是只许使用武当的武功。张三丰当即教了张无忌太极拳和太极剑的功夫。并且要求，张无忌把新学的招式全部忘了，再学新的招式，最后要达到忘掉所有招式的境界。
小说里各人都不能理解，各位看官应该能理解其中的奥妙吧。这其实是高数中的一种思想。最能体现在第一积分换元法的应用上。当你熟练之后，就会觉得第一积分换元法是似有而无的。好象有，但如果让你说出是怎么回事，你可能说不出来，但就是能应用得得心应手。这是怎么回事呢？
第一积分换元法的内容是这样的：
定理：(换元积分法)设g(u)在[α,β]上有定义，u=φ(x)在[a,b]上可导，且α≤φ(x)≤β，x∈[a,b]，并记f(x)=g(φ(x))φ’(x), x∈[a,b].
(第一换元积分法)若g(u)在[α,β]上存在原函数G(u)，则f(x)在[a,b]上也存在原函数F(x)，且F(x)=G(φ(x)) C,即
∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u)du=G(u) C=G(φ(x)) C.
其奥妙的程度比之张三丰的太极功夫，可以说是毫不逊色的。很多学习高数的小伙伴，甚至熟练掌握其中奥秘的高手，恐怕也很难把它解释得完整透彻吧。因此，我们对第一换元积分法的应用，更多是建立在具体的步骤(招式)上的。
运用第一积分换元法的一般步骤：(完整版)
(1)凑微分;
就是将不定积分化为∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(φ(x))dφ(x)的形式；
(2)换元;
记u=φ(x)，则原积分=∫g(u)du. (目标是化为基本积分公式)
(3)求积分;
应用基本积分公式：∫g(u)du=G(u) C.(什么符号并不重要，就是那个意思)
(4)代入内函数;
∫g(u)du=G(u) C=G(φ(x)) C.
显然，有了这些招式，我们要运用第一积分换元法，就变得思路清晰了。
例1：求∫(3x 4)dx.
其实不换元也是可以的，但我们的目的是强化换元法，所以还是换一下元试试吧。
证：原积分=1/3*∫(3x 4)d(3x 4)
令u=3x 4, 则原积分=1/3*∫udu=u^2/6 C(这两步是牙牙学语，稚童学步，真正学会的人，一般都不会有这两步，直接在心里完成就可以了，因此慢慢地，就忘了这两“招”)
=(3x 4)^2/6 C.
=(3x^2 8x)/2 C.(如果不用换元法，得到的结果是这样的。看，两者似乎不太一样？难道错了？其实没错，两者的差只是一个常数而已。一切尽在常数C中。)
例2：求∫cos(3x 4)dx.
证：原积分=1/3*∫cos(3x 4)d(3x 4)=1/3*sin(3x 4) C.
瞧，例2就直接把中间两"招", 换元和求积分给省略了。这样就变得非常简洁！
例3：求∫xe^(2x^2)dx.
解：原积分= 1/4*∫e^(2x^2 )d(2x^2)= 1/4*e^(2x^2) C.
继续忘掉中间两招。长此以往，就连老黄自己都换了有第一换元积分法这回事了。
练习：求∫dx/(2x 1).
解：原积分= 1/2*∫(d(2x 1))/(2x 1)= 1/2*ln|2x 1| C.
你瞧，这不就和张无忌学太极是一个道理的吗？老黄诚不欺汝欸！
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