集合是近代数学中最基本的概念之一,集合观点渗透于中学数学的各个方面,在每年的高考试题中都要考查这个知识点,所以我们应弄懂集合的概念,掌握集合元素的性质,熟练地进行集合的交、并、补运算,准确地理解以集合形式出现的数学语言和符号。关于集合问题我们可以从多方面进行求解。
一、根据集合中元素的属性解题
由于集合中的元素具有确定性、无序性和互异性,因此有关集合中的元素问题,不妨从这方面入手。
例1、已知集合
,集合
,若
,则实数m=_______。
解:∵,
∴
,
∴
。
例2、设
,
,
,且
,求q。
解:∵,
∴
或
∴
或
。
当时,
此时集合中的元素不互异。所以。
二、根据集合中元素的意义解题
研究集合问题时,首先要观察给定的集合是关于谁的集合,它的意义是什么,然后再根据要求求解。
例3、已知集合
,
,则
等于
A.
B.
C.
D.
解:集合M是不等式的解的集合,而集合N是函数的值域的集合,虽然意义不同,但都是数集。故
。选C。
三、利用文氏图解题
在研究集合间的问题时,有些问题直接去想比较抽象,这时可利用文氏图帮助思考,从而降低问题的难度。
例4、由高一年级学生组成的篮球队、排球队、乒乓球队分别有14,15,13名队员,已知同时参加这三个队的有3人,既参加篮球队又参加排球队的有5人,仅参加乒乓球队的有4人,仅参加排球队的有5人,问仅参加篮球队的有多少人?
解:设篮球队员、排球队员、乒乓球队员分别组成集合A、B、C,则
中有3个元素,
中有5个元素,既参加排球队又参加乒乓球队而不参加篮球队的队员有
,既参加篮球队又参加乒乓球队而不参加排球队的有
,所以仅参加篮球队的有
人。
四、利用方程解题
例5、若集合
,
,且,则a的取值的集合是___________。
解:
,N中元素是什么,需要对a的情况分类讨论。(1)若a=0则
满足;(2)若则
,由,有
,或
,得
或
,所以a的取值集合是
。
五、利用不等式解题
例6、已知集合
,集合
,则集合=
A.
B.
C.
D.
解:由题意得:
,
,故选C。
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