19 世纪中叶 7 月的一个早晨，伦敦人醒来时闻到一股令人作呕、令人反胃的恶臭。他们不能在没有生病的情况下离开家。比较富裕的人在手帕上涂上香水，走来走去永远遮住脸。许多穷人离开城镇到农村寻找工作，因为他们实在无法忍受。毫无疑问，这是英国历史上最臭的事件。
这是众所周知的1858 年大恶臭的开始。泰晤士河满溢着数百年来直接从中世纪木制下水道系统倾倒的人类排泄物，终于开始报复了。充满霍乱的污泥被冲上河岸，在异常炎热的夏季温度下晒太阳，形成了数英里内无法逃脱的瘴气恶臭。
伦敦金融城公司——当时并不以在公共卫生方面特别积极主动而闻名——意识到已经足够了，并邀请为该市设计新的污水处理计划提交意见书。Joseph Bazalgette 的计划被接受，现在被认为是伦敦过去的主要公民英雄之一。作为一名才华横溢的土木工程师，他监督了一项具有里程碑意义的公共工程项目，该项目改变了伦敦的卫生水平和生活质量。Bazalgette 的下水道网络被广泛认为是创建当今现代化城市的第一步，也是伦敦结束霍乱的开端。
Bazalgette 的下水道网络依然强大，将数百万人的排泄物向东输送到泰晤士河口的处理设施。作为一个工程项目，它是人类努力的一个惊人例子：22,000 公里的下水道、3.18 亿块砖、270 万立方米的开挖土。
Bazalgette 以工作努力着称。他不遗余力地使这项巨大的努力经得起未来的考验。确保水流的网络的重力和坡度，隧道的直径，都是他着迷的细节。但是，为了使项目易于管理和可持续，有两个问题在一开始就必须回答：首先，我们如何尽量减少网络中任意两点之间的污水处理路线；其次，哪些是最重要的连接点？
Bazalgette 的工程壮举是图论新兴领域的一些首次应用的一个例子，并说明了我们今天一直关注的两个与网络相关的概念的重要性：顶点之间的距离和顶点的重要性。
距离在图论中是一个相当简单的概念，但在实践中非常有用。回想一下我之前的文章，图由一组顶点和一组连接顶点对的边组成。给定一个简单图中的任意两个顶点，它们之间的距离定义为它们之间最短路径中的边数。这有时也称为“测地线距离”，如果顶点之间不存在路径，则按照惯例将其描述为“无限”。例如，在上面的简单图形中，顶点 2 和顶点 6 之间的距离为 3（有两条路径可以到达此长度）。
距离是一个非常有用的概念，因为我们经常希望针对它进行优化。出于工程目的，最小化距离是复杂网络中极为常见的要求。在人们的研究中，最小距离也是一个普遍感兴趣的问题。六度分离的问题实际上是图网络中的最小距离问题。对 Facebook 图表的研究表明，该网络上个人之间的平均最小距离为 4.57。
但最大距离也很有趣，因为它意味着不熟悉和差异。例如，可以使用某些公司数据来开发表示员工之间过去协作的图表。然后，在将人们组织成讨论组的公司活动中，如果你想最大限度地形成新的联系和观点的多样性，你可以问这样的问题：我们如何将这 100 人分成十组，每组十人，这样这些组的平均距离最大，因此以前彼此合作过的可能性最小？以这种方式使用，图论可以对组织内的人们的体验产生有意义的影响。
在任何图中，某些节点更重要。例如，在 Bazalgette 的下水道网络中，有些连接点需要加强监控，因为任何故障或泄漏都会对整个网络产生更大的影响。同样，在人际网络中，某些人因其在网络中相对于其他人的定位和联系而具有更大的影响力。
一个简单的重要性度量是顶点的价。那是连接到顶点的不同边的数量。例如，在 Facebook 上，您的效价就是您拥有的联系数量。但这并没有完全掌握影响力或重要性的概念，对吗？并不是每个拥有大量连接的人都在网络中扮演着真正重要的角色。
根据我的经验，网络中重要性的最佳衡量标准是中介中心性。简单地说，给定顶点的介数中心性是该顶点被视为位于网络中其他两个顶点之间的最短路径上的次数。具有高度介数中心性的顶点在更大程度上影响信息的传播，并且它们从网络中丢失往往对其整体连通性产生更显着的影响。在上图中，红色顶点的介数中心性程度最低，而蓝色顶点的介数中心性最大。
了解中介中心性在人际网络中可能非常重要。它可以帮助确定投资于哪些人，以确保尽可能广泛地传播某个信息。通过介绍给合适的人，它可以帮助网络中的新成员建立更紧密的联系。它可以帮助确定您应该对网络中个人的损失及其对他人的潜在影响的关注程度。
介数中心性很难测量，因为您需要计算网络中所有顶点对之间的路径。对于大型网络，这可能是高度计算密集型的。然而，有一些优秀的数据科学包可用于计算包括中介中心性在内的网络特征。在 R 中，igraph包非常方便，而在 Python 中，networkx包非常有用。
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