此题有一定的难度,及时求出内在关系,在求FC的长度时,也需要思考一会,当然方法不唯一,我们一起学习下。我们先看题目:

如何快速做立体几何第12题(挑战几何培优题)(1)

解题入手点,角平分线会想到角平分线的性质,也就是作垂直;特殊角60°会想到构造直角三角形;AE=DE,CE⊥AD,会想到垂直平分线的性质;比较巧妙的是120°的邻补角也是60°,此时BC也是角平分线,利用角平分线的性质作高就有高相等,结合直角三角形HL证全等,然后求出边长。在求解CF的时候我利用了面积关系解的,然后结合相似求CF长度。

如何快速做立体几何第12题(挑战几何培优题)(2)

求解CF的长度的另一种解法,连接BE利用中点面积关系转化即可,作DM⊥AB,利用特殊角求高,然后在结合相似比求解。

如何快速做立体几何第12题(挑战几何培优题)(3)

小结一下:大等边三角形边长为8​,小等边三角形边长为3,连接之后就有本题的378和578的基本构造,然后把蓝色部分绕顶点逆时针旋转60°,就得到本题的基本图形。其实这种也是等边手拉手的基本构造。当然本题按上述解法构造后确实隐含等边手拉手构造,如下图所示,我们在求解时也证出是等边三角形了。通常我们知道等边手拉手,证出全等,本题是通过证全等反推等边三角形手拉手。

如何快速做立体几何第12题(挑战几何培优题)(4)

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