但凡了解数学的人，我想都听说过庞加莱的鼎鼎大名 。广泛而深刻的研究以及丰硕的成就为他赢得了“人类历史上最后的数学全才”这样的高度赞誉。
1854年4月29日，亨利·庞加莱出生于法国南锡。庞加莱的父亲是当地有名的医生，同时也是南锡大学的教授，而母则是一位知书达理的女性。庞加莱一出生便被发现手脚活动不方便，5岁的时候还不幸感染了白喉，这使得庞加莱的视觉神经受到了一定的损伤，父母为此忧心忡忡。但上天仿佛为了弥补他一般，给了庞加莱异于常人的天赋。他阅读书籍不仅很快而且能过目不忘，由于视力很差，庞加莱听课看不见黑板，所以只能听，久而久之，他的记忆力和理解能力得到了更大的进步。在这期间，庞加莱也渐渐地迷上了数学，并且表现出极大的天赋。
1871年，庞加莱报考了巴黎综合工科大学。主考官听说他是远近闻名的数学奇才，特意延迟面试时间并精心准备难题来考庞加莱。主考官没想到庞加莱竟对答如流，惊讶不已，给了他数学最高分。但糟糕的是由于庞加莱身体不便，体育得了低分，绘画更是得了零分。按照规定，学校是不能录取庞加莱的。但此时的政府与学校充分吸取了伽罗瓦的教训，鉴于庞加莱出色的数学能力，还是破格录取了他。而这也许是最正确的决定之一。
进入大学后，由于庞加莱非常仰慕伽罗瓦的伟大工作，于是他发奋钻研相关著作和李群知识，以便继承伽罗瓦的杰出工作。这不仅使庞加莱看到了群论在研究方程中的作用，更认识到伽罗瓦理论的深远的意义，伽罗瓦理论则揭示了几何与代数、数论之间更加深刻的内在关系。而且庞加莱一向喜欢新思想，罗巴切夫斯基等人的非欧几何，柯西与黎曼的复变函数，同样是他重点关注的对象。虽然在物理实验操作上他不太方便，显得稍逊一筹，但对理论物理，如拉格朗日等人的分析力学，拉普拉斯的天体力学，傅里叶的热解析理论，尤其是麦克斯韦的电磁学说，都饶有兴趣。大学时期广泛的兴趣和学习，为庞加莱今后多方面的杰出贡献奠定了坚实基础。
庞加莱不仅学习出色，在道德品行上也严格要求自己。虽然腿脚不便，但他仍热心帮助他人，对他人的嘲笑也不恼怒。这些都离不开父母对他的谆谆教诲，而且也让庞加莱在老师与同学间颇受欢迎。
大学毕业后，庞加莱按自己的兴趣选择了当一名工程师，又进入了矿业学校继续学习。在对工程的学习中，庞加莱越来越意识到工程和物理的研究离不开数学，尤其是微分方程，所以研究微分方程成为了他的业余爱好。虽是业余研究，但凭着强大的数学能力，庞加莱很快就取得了成果。
1878年庞加莱向巴黎科学院提交了关于微分方程的第一篇论文，并因此于1879年8月1日获得数学博士学位。这也就成了庞加莱职业数学家的开始。之后不久，凭借出色的数学能力，他应聘成为卡昂大学数学分析讲师，从此走上了一代大师之路。
由于在微分方程领域成就卓著，1881年，他又被应聘为巴黎大学教授。
在研究微分方程的过程中，庞加莱开始关注自守函数，而自守函数又是三角函数和椭圆函数的推广。长期而积极的思考使得庞加莱完成了关于自守函数的第一篇论文，并于1882年发表。但超前的思想却引得了克罗内克等人的批评，但是数学的发展却表明了庞加莱的自守函数理论揭示了分析学与几何、代数和数论的深刻内在联系，充分体现了数学的统一性，这对现代数学的发展影响十分巨大。在这一领域的杰出工作使得庞加莱成为了自守函数论的创始人之一。
之后，他又对三体问题产生了浓厚的兴趣。而地球与太阳月亮的关系就是典型的三体问题。这个关系在数学上它包含有九个方程，在一般条件下无法求其精确解。于是庞加莱意识到，解决研究三体问题必须另辟蹊径，不能以传统的观点来审视。一番思考之后，庞加莱提出：要放下求精确解这个过于严苛的束缚，应该设法去了解天体轨道的性质和形态。为此，庞加莱用几何方法从整体上分析解的性质形态，从而建立起了微分方程的稳定性理论。这是庞加莱继自守函数后的又一创举。
恰巧在1887年，瑞典国王悬赏征求著名N体问题的解答，其中人们对三体问题的关注最大。庞加莱充分发挥自己在这方面的积累，将微分方程定性理论应用于三体问题研究，在1889年应征的论文中运用渐近展开与积分不变性方法，深入研究了轨道在奇点附近的性质形态。这一解答赢得了魏尔斯特拉斯、埃尔米特和米塔列夫勒三位数学大师和前辈的青睐，并获得了2500瑞典克朗和一枚金质奖章。尽管庞加莱没有获得精确解，但他这一方法却开创了天体力学研究的新纪元。在此基础上，庞加莱完成了三卷巨著《天体力学的新方法》，这也使得庞加莱在天体力学上占有一席之地。
1887年，由于在自守函数论和微分方程定性理论方面的卓著成就，庞加莱当选法兰西科学院院士。但他对数学的思考并未有丝毫停止和懈怠。在此之前，庞加莱的主要研究领域是包含微分方程在内的分析学，其核心观念之一就是连续性。庞加莱敏锐地觉察到，与连续性相关的许多难题的解解，都离不开“位置分析”，而“位置分析”就是今天的拓扑学。
受物理学的影响，庞加莱首先提出了向量场的概念，并应用于微分方程和天体力学的研究，他对拓扑学的思考也始于此。基于长期的思考研究，1892年到1893年期间，庞加莱开始撰写并发表拓扑学相关的论文。总结之后，又于1895年发表了长达121页的论文《位置分析》，这也是早期拓扑学的经典著作。但庞加莱基于自己强大的直觉，不加证明给出了很多结论，一时令人难以接受。为此，在1899年到1904年间，他又陆续发表了5篇补充报告，充实和深化以前的论文，提高了易读性。在他的这些一系列著作中，庞加莱创立了拓扑学的一系列基本方法和概念；提出了同调群、基本群等重要的拓扑不变量概念；他还提出一系列相当有意义的问题和猜想，包括影响了现代数学发展的庞加莱猜想。庞加莱几乎以一人之力完成了早期拓扑学的创建，可谓居功甚伟。
尽管当时偏微分方程发展缓慢，庞加莱对偏微分方程理论仍有重要贡献。庞加莱在线性算子、位势理论的工作都是奠基性的，影响深远。此外，他对积分方程也深有研究。同时，庞加莱也是多复变函数论的早期创始人之一，开创了很多奠基性的工作。
尽管庞加莱是数学家，但他在巴黎大学却开设了大量的物理课，比如基础力学、几何光学、热力学、电磁学等等。对物理学的深入思考使得庞加莱在这方面同样成就非凡。他首先猜想阴极射线是某些粒子组成的，这一观点当时尚不能被物理学家所接受。庞加莱收到伦琴寄来的新年礼物 （也就是科学史上著名的第一张X光相片）后，非常高兴地跑到科学院的周会上向大家展示了伦琴夫人手的指骨和清晰可辨的戒指。之后的一系列研究表明庞加莱的猜想是完全正确的。而真正使得庞加莱在物理学界享有盛誉的是他关于相对论的早期研究。
1898年庞加莱发表了《时间的测量》一文，提出了光速不变性假设。1902年他又阐明了相对性原理：即在所有惯性系中物理规律，包括电磁现象等都相同。之后，庞加莱又引入虚时间坐标，创建了相对论四维时空，为闵可夫斯基的相对论数学化工作奠定了基础。确实很难现象，这些工作都是由庞加莱首先提出来的。荷兰物理学家洛伦兹给出两个作相对匀速运动的惯性参照系之间相对论的坐标变换关系后，庞加莱将这种对应关系命名为洛伦兹变换，今天我们又一熟悉的原理名称还是出于庞加莱之手。然而正是庞加莱令人发指的天才，使得他和同时代的克莱因，爱因斯坦等大师素有恩怨。
除了科学上的贡献之外，庞加莱在科学哲学和写作上的贡献也不容小觑。在1902到1908年期间，庞加莱先后出版了《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》三部著作。在书中庞加莱广泛而深刻地论述了他的科学哲学思想，包括他对数学创造本性、数学直觉的作用和数学发展原动力的理解。他的这一系列思想和著作也为后人留下了宝贵的财富。
除此之外，庞加莱在其他方面也成就卓著。庞加莱在1901年发表的相关论文，被认为是丢番图几何一个里程碑，有力地促进了代数几何与代数数论的发展。1907年，他又利用拓扑方法，证明了自己早在1883年提出的一般单值化猜想，这是代数几何最重要的结论之一。庞加莱的贡献实在太多，很难一一叙述了。
作为科学界的领袖，庞加莱积极参加和主持各种会议，为科学的传播贡献了很大力量。同时，庞加莱还乐于帮助其他有困难的人，比如他曾积极为居里夫妇解决缺乏实验室的问题。庞加莱也从不避讳自己的错误，他曾深深自责，因为自己过分批评了勒贝格的全新函数论（今天所说的实变函数论，勒贝格为创始人），唯恐埋没了这位后生。凡此种种，我们都可以看到，庞加莱不仅在科学上成就卓著，在为人处世方面也为人称道。
长期的劳累和本就羸弱的身体最终还是拖垮了庞加莱。1912年7月17日，庞加莱起身穿衣，还未系好纽扣就倒下了，脑血栓夺去了他的生命。伟大的头脑从此停止了思考，但留下的光辉思想和成就却流芳百世，永远不会因为时间的推移而有所褪色。
庞加莱这样全能型的天才在整个人类历史上都是罕见的，他的成就贡献足以影响整个现代数学，是与高斯比肩的伟大科学家。仅庞加莱猜想一项就深刻影响了现代数学一百多年。庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。同为法国数学大师的阿达玛称庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”应该说，庞加莱无愧 为人类科学史上的一座难以逾越的高峰。
