命题1、 数1是最小的正整数我们这里用两种方法证明一个是数学归纳法原理和另一个良序原理，下面我们就来聊聊关于有关有理数和无理数的试题有答案?接下来我们就一起去了解一下吧!
有关有理数和无理数的试题有答案
命题1、 数1是最小的正整数。
我们这里用两种方法证明一个是数学归纳法原理和另一个良序原理。
证明1：（根据数学归纳法原理）我们可命S为所有＞或=1正整数集合，显然，1是在集合S内。如果正整数n在S内，则n＞或=1，于是n 1＞n＞或=1，因此正整数n 1也在S内。依据由数学归纳法原理，我们则得知S=N。所以，得出结论为，每一个正整数大于或等于1.
证明2：（根据良序原理）我们从良序原理得知：有一最小的正整数，例如为s,我们假设s＜1.现将不等式0＜s＜1同时乘以s,则得出0＜s^2＜s,这样我们得出：s不是最小正整数，这就引出了一个矛盾的结果，故此假设不成立，所以1是最小的正整数。证毕。
我们在这里可以分析一下，良序原理是说任何非空的正整数集有一最小的数。它的最小的数是1.那么在数学归纳法原理里n 1也是在正整数集S里。是不是可以得到一个结论：如果n是一整数，则在n与n 1之间就没有整数。我们来证明一下。
我们假设有这么一个整数，为l，它使得n＜l＜n 1.可得这个式子，即0＜l-n＜1，这个结论与1是最小的正整数的命题相矛盾。所以推论是正确的。
命题2.数学归纳法原理与良序原理是等价的。（这个意思是说：我们能够从一个推出另一个来，只要假定通常的整数的算术性质被满足的话。）
证明：假定良序原理成立，并命S为正整数的集合，我们就必须证明S就是一切正整数的集合N.
命T为不在S内的所有正整数的集合。若T是非空的，则由良序原理便得：T有一最小的数，比方说t.因为1是在S内的最小正整数，于是t＞1.故t-1是一正整数，又因为t-1＜t，它必在S内。再由S的性质可肯定t也在S内，这是一个矛盾，因为S与T是不相交的集。这就说明假设“T是非空的”引出了一个矛盾，所以它是错误的，因此集T是空的，从而S=N.
假设数学归纳法原理成立，再设有一非空的正整数集，比方说S，它没有一个最小的数。因为1是最小的正整数，则1不在S内，因而它小于S的所有的数。
命T为所有如下的正整数的集，它们都小于S的所有的数。由上证明可见1是在T内。假设整数n是在T内，如果n 1是在S内，则由于在n与n 1之间没有整数，n 1是S的最小的元素，但这与我们关于S的假设矛盾。所以如果n是在T内，则n 1必须也在T内。由数学归纳法原理则知T包含所有的正整数，因而S是空的。但这与我们原来的假设“S是非空的”相矛盾。故若S是一个非空的正整数集，则S有一最小的元素，从而证明完毕。
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