话题:#科学# #数学# #点集拓扑#
小石头/编
点是人们对于位置的抽象,由点组成的集合称为点集,具有一定性质的点集称为空间。
点并不一定是三维空间中的点,例如:和尚脖子上的佛珠、几何作业本上的墨滴、夜幕中那闪闪发光的群星、饭碗里的米粒、视线的焦点、...,也可以是时间上的点,例如:钟表的滴答、情人的心跳、...,还可以是思维里的点,例如:出个点子、痛点、笑点、爱的浪花、小提琴的音符、...,点甚至可以不是点状,例如:墙上的砖头、书页、光线、旋律、回忆、...,因此空间就更是 五花八门了,例如:星空、爱的海洋、扭曲的四维时空、肖邦的月光、一杯牛奶、一块面包、一场梦、... 。
最初的点集 X,除了能确定,任意一个点 x 属于X,记为 x ∈ X,或 不属于 X,记为 x ∉ X,外,其它啥样啥也做不了。可是点毕竟是位置的抽象!人类之所以能 区分三维空间中的位置,就是因为 可以估算不同位置之间的距离,因此 若要让点扮演好代表位置的角色,就必须在点集上加入定距能力,我们称具有 定距 能力的 点集 为 度量空间。
那么如何让点集 定距 呢?
我们先来分析一下 距离的性质。通过生活实践以及《物理学》训练,我们其实已经在直觉上接受了距离这个概念。提到距离,大家就会想到它有如下这些特性:
- 距离是一个 实数;
- 距离没有方向,不能为负数;
- 从 x 到 y 的距离 等于 从 y 到 x 的距离;
对于点 X 中的 任意两点 x, y ,我们 用 d(x, y) 表示 它们之间的距离。将全体实数记为 ℝ,上面根据特性1, d(x, y) ∈ ℝ,而 x, y ∈ X,可见 d 是 X 上的 二元函数,记为:
由特性2 知 d(x, y) ≥ 0。当d(x, y)=0 时,x 和 y 就是同一位置,于是 x = y,反之依然。
特性3 就是 d(x, y) = d(y, x),这说明 距离 具有 对称性。
对于三角形来说,其边长就是顶点之间的距离,现在问:任意两边之和 与 第三边 之间的 大小关系 是什么?
假设, 对于任意三角形,两边之和 小于 第三边,则 对于上图有,
a b < c
e c₁ < a,e c₂ < b
根据 特性1 和 2,我们知道 a,b, c 和 e 都是 正实数,于是按照实数的代数运算规则,有,
e e c = e c₁ e c₂ < a b < c
进而,
e ≤ 2e = e e c - c < c - c = 0
即,
d(y, w) = e < 0
这显然与 特性2 矛盾。
故,假设不成了,只能是:对于任意三角形,两边之和 大于等于 第三边。
有了以上分析,我们可以正式给 点集 定距了:对于任意点集 X,若 其上的二元函数 d: X × X → ℝ , 满足,
- 正定性:d(x, y) ≥ 0 并且 d(x, y) 当且仅当 x = y;
- 对称性: d(x, y) = d(y, x);
- 三角不等式:d(x, y) d(y, z) ≥ d(x, z);
则称 d 为 X 上的 距离(函数)。
佛曰:“一花一世界,一叶一菩提”,这说的是:花与叶尽管是真实世界中的一部分,但是它们依然可以自成一界。比对,度量空间 X,考虑 其中的任意非空子集 A(记为 A ⊆ X),首先A是一个点集,其次,X 上定义的 距离 d 对于 A 中的点 同样适用,因此上,A 也是一个 度量空间,叫做 X 的 子空间。就真实世界来说,其中的任何物体,都它的一个子空间。
接下来,我们将进一步研究 度量空间,这就需要 能看清楚 更多细节。在 现实中,人类借助 显微镜 来观察 微观世界, 受此启发,我们 也可以在 度量空间 中造一个 “显微镜” 来观察 每个点周围的 局部空间。
回想中学《生物》课上,我们对显微镜的使用:
- 首先,将镜头焦点对准玻片 X 上的一个点 a,这样在目镜中就能看清楚 焦点 a 周围半径为 ε 内的点;
- 然后,切换不同放大倍率的物镜,随着放大倍率变化,ε的值也跟着变化。目镜中 我们总是可以看到 X 的局部,所以 ε始终大于0,而 放大倍率增加 ε减小,放大倍率减小ε增加,于是 1/ε 就是 放大倍率;
- 最后,还会移动焦点的位置,以看清其它点周围的状况;
于是,在度量空间,可定义 显微镜 为:
称为 a 点的 一个半径为 ε 的 开球。
开球 B(a, ε) 就是 显微镜目镜中看到的全部点,其中 a 是焦点,1/ε 是 放大倍率。这样以来,我们就可以通过改变a 和 ε,来在不同 微观等级上 观察 整个 度量空间 了。
一般的点集,属于其的点,是无差别的,可是对于 子空间 则不同。一个苹果,同样是属于苹果的点,有些点我们可以看到,有些不能。可以看到的点是苹果的表皮,而看不见的点是苹果的果肉。
当我们用显微镜去观察苹果时,有,
- 若 焦距 a 对准 果肉,则 通过 不断增加 放大倍率 1/ε ,总会有一个时刻,目镜中全都是苹果;
- 若 焦距 a 对准 果皮,则 无论如何调节 放大倍率 1/ε,目镜中始终一部分是苹果、一部分是苹果之外;
- 若 焦距 a 对准 苹果之外,则 通过 不断增加 放大倍率 1/ε,总会有一个时刻,目镜中将看不到苹果;
若 用 A 表示苹果,X表示整个世界,则 第一种情况就是,
- 对于 a ∈ X ,存在 ε > 0 使得 B(a, ε) ⊆ A,
我们称满足 这个性质的 点 a 为 A 的 内点,A 的全体内点 称为 A 的 内部,记为 A°。
若 将 世界 X 中除去 A 的部分记为 Aᶜ = X \ A(称为 A 的补集),则 令 B = Aᶜ 表示苹果之外,这样 第二种情况可表述为,
- 对于 a ∈ X ,任意 ε > 0 都有 B(a, ε) ∩ A ≠ ∅ 并且 B(a, ε) ∩ Aᶜ ≠ ∅,
称满足 这个性质的 点 a 为 A 的 边界点, A 的全体边界点 称为 A 的 边界,记为 ∂A。聪明的朋友 会发现,A 的边界点,对于 B 也满足 以上性质,所以 也是 B 的边界点,即有,
- ∂A = ∂(Aᶜ)
这符合我们的常识:两个相邻国家的边界是同一个,这还说明:某点集 的边界点 不一定在 该点集内。
将 第三种情况 和 第一种情况对比,大家就会发现,此时的 a 就是 Aᶜ 的 内点,我们称它是 A 的 外点。再对Aᶜ 考虑第一种情况,此时的 a 显然也是 Aᶜ 外点。
将 第一第二种情况混合起来,有,
- 若 焦距 a 对准 果皮,则 无论如何调节 放大倍率 1/ε,目镜中始终可以看到苹果(一部分 或 全部);
这可表述为,
- 对于 a ∈ X ,任意 ε > 0 都有 B(a, ε) ∩ A ≠ ∅,
称满足 这个性质的 点 a 为 A 的 触点,A 的全体触点 称为 A 的 闭包,记为 A‾ 。我们发现:
- A = A‾ ,称这样的 A 为 闭集;
- B = B°,称这样的 B 为 开集;
显然 闭集 A 的补集 B 是 开集, 开集 B 的 补集 A 是 闭集。
同样是 苹果 的触点,还可以再分类,考虑将 果皮上的 某个点 α 和 苹果分离,虽然 α 还是 苹果的点,但是位置发生改变,这时,
- 若 焦距 a 对准 α,则 通过 不断增加 放大倍率 1/ε ,总会有一个时刻,目镜中将看不到苹果除了 α点之外的点;
- 若 焦距 a 对准 α之外的苹果,目镜中始终可以看到 苹果除a点之外的点(一部分 或 全部);
后一种情况是,
- 对于 a ∈ X ,任意 ε > 0 都有 (B(a, ε) \ {a}) ∩ A ≠ ∅,
称满足 这个性质的 点 a 为 A 的 聚点,A 的全体聚点 称为 A 的 导集,记为 A' 。边界点类似,某集合的聚点,不一定属于该集合。
从 A 中除去 包含在 A' 中的点,即,A\ A',就是前一种情况的点,称这些点 为 孤立点。
以上就是我们借助显微镜,在 度量空间中 建立的 概念。如果你学过《高等数学》下册的多元微积分,你可能对他们还有印象,如果没有印象也不要紧。这些概念是研究 度量空间 的基础,小石头 将在 续篇中 再进一步详细分析它们。
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