肖博数学小题专练·(七) 三角函数的图象与性质,下面我们就来聊聊关于高中数学三角函数知识网络图?接下来我们就一起去了解一下吧!

高中数学三角函数知识网络图(高中数学小题专练)

高中数学三角函数知识网络图

肖博数学小题专练·(七) 三角函数的图象与性质

一、选择题

1.下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是

( )

A.y=cos

2x

π

2

B.y=sin

2x

π

2

C.y=sin2x cos2x D.y=sinx cosx

答案 A

解析 y=cos

2x

π

2 =-sin2x,最小正周期 T=

2 =π,且为奇

函数,其图象关于原点对称,故 A 正确;y=sin

2x

π

2 =cos2x,最

小正周期为 π,且为偶函数,其图象关于 y 轴对称,故 B 不正确;C、

D 均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故 C、D 不正确。

2.(2017·海南联考)已知 f(x)=2sin

2x

π

6 ,若将它的图象向右平

π

6个单位长度,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)图象的一条对称

轴的方程为( )

A.x=

π

3

B.x=

π

4

C.x=

π

6

D.x=

π

12

答案 A

解析 f(x)=2sin

2x

π

6 ,若将它的图象向右平移π

6个单位长度,

得到函数 g(x)=2sin

2

x-

π

6

π

6 =2sin

2x-

π

6 的图象,令 2x-

π

6=kπ

π

2,k∈Z,求得 x=

2

π

3,故函数的图象的一条对称轴的方程为 x

2

=

π

3,故选 A。

3.(2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)=

1

5

sin

x

π

3 cos

x-

π

6 的最大值为

( )

A.

6

5

B.1

C.

3

5

D.

1

5

答案 A

解析 因为 cos

x-

π

6 =cos

x

π

3 -

π

2 =sin

x

π

3 ,所以 f(x)=

6

5

sin

x

π

3 ,于是 f(x)的最大值为6

5,故选 A。

4.若 f(x)=sin(2x φ) b,对任意实数 x 都有 f

x

π

3 =f(-x),

f

2π

3 =-1,则实数 b 的值为( )

A.-2 或 0 B.0 或 1

C.±1 D.±2

答案 A

解析 由 f

x

π

3 =f(-x)可得 f(x)的图象关于直线 x=

π

6对称,∴

π

6 φ=

π

2 kπ,k∈Z。当直线 x=

π

6经过最高点时,取 φ=

π

6;当直

线 x=

π

6经过最低点时,取 φ=-

5

6

π。若 f(x)=sin

2x

π

6 b,由 f

2 

3

π =

-1,得 b=0;若 f(x)=sin

2x-

5

6

π b,由 f

2 

3

π =-1,得 b=-2。

所以 b=-2 或 b=0。

5.将函数 f(x)=sin

2x

π

6 的图象向左平移 φ

0<φ≤

π

2 个单位长

度,所得的图象关于 y 轴对称,则 φ=( )

3

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

π

2

答案 A

解析 将函数 f(x)=sin

2x

π

6 的图象向左平移 φ

0<φ≤

π

2 个单位

长度,得到的图象所对应的函数解析式为 y=sin

2(x φ)

π

6 =

sin

2x 2φ

π

6 ,由题知,该函数是偶函数,则 2φ

π

6=kπ

π

2,k∈Z,

又 0<φ≤

π

2,所以 φ=

π

6,选项 A 正确。

6.(2017·甘肃兰州一模)函数f(x)=sin(ωx φ)

x∈R,ω>0,|φ|<

π

2

的部分图象如图所示,如果 x1 x2=

3 ,那么 f(x1) f(x2)=( )

A.

3

2

B.

2

2

C.0 D.-

1

2

答案 C

解析 由题图知,T=π,ω=2,∴f(x)=sin(2x φ),将

π 

3,0 代

入函数,根据 φ 的范围,得 φ=

π

3,∴f(x)=sin

2x

π

3 。∵图象关于

π 

3,0

4

中心对称,x1 x2=

3 ,∴x1,x2的中点为π

3,则 f(x1) f(x2)=0。

7.(2017·哈尔滨一模)已知函数 f(x)= 3sinωx cosωx(ω>0),y

=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单

调递增区间是( )

A.

kπ-

π

12,kπ

12 ,k∈Z

B.

12,kπ

11π

12 ,k∈Z

C.

π

6,kπ

3 ,k∈Z

D.

kπ-

π

3,kπ

π

6 ,k∈Z

答案 D

解析 因为 f(x)=2sin

ωx

π

6 ,所以最小正周期 T=

ω。又由题

设可知 T=π,故 T=

ω=π⇒ω=2,故 f(x)=2sin

2x

π

6 ,其单调递

增区间为 2kπ-

π

2≤2x

π

6≤2kπ

π

2,即 kπ-

π

3≤x≤kπ

π

6,k∈Z,故

选 D。

8.(2017·安徽宿州一模)将函数 f(x)=3sin

2x-

π

4 的图象先向左平

π

4个单位长度,再向下平移 4 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,

则函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象( )

A.关于点(-2,0)对称

B.关于点(0,-2)对称

C.关于直线 x=-2 对称

D.关于直线 x=0 对称

答案 B

5

解析 将函数 f(x)=3sin

2x-

π

4 的图象先向左平移π

4个单位长度,

再 向 下 平 移 4 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数 g(x) 的 解 析 式 g(x) =

3sin

2

x

π

4 -

π

4 -4=3sin

2x

π

4 -4=-3sin

 -2x-

π

4 -4=-f(-x)

-4,故两个函数的图象关于点(0,-2)对称,故选 B。

9.已知函数 f(x)=sin(ωx φ)

ω>0,|φ|<

π

2 的最小正周期为 π,且

其图象向右平移π

6个单位后得到函数 g(x)=sinωx 的图象,则函数 f(x)

的图象( )

A.关于直线 x=

12对称

B.关于直线 x=

π

12对称

C.关于点

π 

12,0 对称

D.关于点

5π 

12,0 对称

答案 B

解析 依题意得 T=

ω=π,ω=2,f(x)=sin(2x φ),将 f(x)的图

象向右平移π

6个单位后得到函数 y=sin

2

x-

π

6 φ =sin2x 的图象,因

此 φ-

π

3=2kπ,k∈Z,φ=2kπ

π

3,k∈Z,又|φ|<π

2,因此 φ=

π

3,f(x)

=sin

2x

π

3 。f

5π

12 =sin

12

π

3 =-

1

2,f

5π

12 ≠±1 且 f

5π

12 ≠0,因

此 f(x)的图象不关于直线 x=

12对称,也不关于点

5π 

12,0 对称。f

π 

12 =

sin

π

12

π

3 =1,因此 f(x)的图象关于直线 x=

π

12对称,故选 B。

6

10.(2017·泉州模拟)已知函数 f(x)=2sin

x φ

2

cos

x φ

2 

|φ|<

π

2 ,且

对于任意的 x∈R,f(x)≤f

π

6 ,则( )

A.f(x)=f(x π) B.f(x)=f

x

π

2

C.f(x)=f

π 

3-x D.f(x)=f

π 

6-x

答案 C

解析 函数 f(x)=2sin

x φ

2

cos

x φ

2 =sin(x φ)

|φ|<

π

2 ,若对任意的

x∈R,f(x)≤f

π

6 ,则 f

π

6 等于函数的最大值,即π

6 φ=2kπ

π

2

(k∈Z),

则 φ=2kπ

π

3,k∈Z,又|φ|<π

2,∴φ=

π

3,∴f(x)=sin

x

π

3 ,∴f(x)的周

期为 T=2π,A,B 错误;又 f(x)图象的对称轴是 x=kπ

π

6,k∈Z,C

正确,D 错误。故选 C。

11.(2017·全国卷Ⅰ)函数 y=

sin2x

1-cosx

的部分图象大致为( )

答案 C

解析 因为函数 f(x)=

sin2x

1-cosx

的定义域为{x|x≠2kπ,k∈Z},f(-

7

x)=

sin(-2x)

1-cos(-x)

=

-sin2x

1-cosx

=-f(x),所以 y=

sin2x

1-cosx

为奇函数,其图

象关于原点对称,故排除 B;因为 f

π

2 =

sinπ

1-cos

π

2

=0,f

3π

4 =

sin

2

1-cos

4

=

-1

1

2

2

<0,排除 A;f(π)=

sin2π

1-cosπ

=0,排除 D。故选 C。

12.(2017·东北三校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx φ)(0<ω≤12,ω

∈N*,0<φ<π)图象关于 y 轴对称,且在区间

π 

4,

π

2 上不单调,则 ω 的可

能值有( )

A.7 个 B.8 个

C.9 个 D.10 个

答案 C

解析 由题知,f(x)为偶函数,f(0)=sinφ=±1,又 0<φ<π,所以

φ=

π

2,f(x)=sin

ωx

π

2 =cosωx。令 t=ωx,f(x)=cost,则 y=cost 在

π 

4

ω,

π

2

ω 上不单调。令 ω=1,y=cost 在

π 

4,

π

2 是单调减函数,所以

ω≠1;令 ω=2,y=cost 在

π 

2,π 是单调减函数,所以 ω≠2;令 ω

=3,y=cost 在

3 

4

π,

3

2

π 不单调,所以 ω=3 符合题意;令 ω=4,y

=cost 在[π,2π]是单调增函数,所以 ω≠4;依次类推,可得当 ω=

5,6,7,…,12 时均符合题意,所以 ω 取 3,5,6,7,8,9,10,11,12 时,f(x)

在

π 

4,

π

2 上不单调,所以 ω 的可能值有 9 个。

二、填空题

8

13.已知函数 f(x)=2sin(ωx φ)对任意的 x 都有 f

π 

6 x =f

π 

6-x ,

则 f

π

6 =________。

答案 ±2

解析 函数 f(x)=2sin(ωx φ)对任意的 x 都有 f

π 

6 x =f

π 

6-x ,

则其对称轴为 x=

π

6,所以 f

π

6 =±2。

14.函数 y=sin2x 与函数 y=tanωx 有相同的零点,则 y=tanωx

的单调递增区间为____________________。

答案 

 -

π

4

2 ,

π

4

2

(k∈Z)

解析 根据题意可知,y=tanωx 的周期为 y=sin2x 的周期的一

半,即 T=

1

2 =

π

2,∴ω=

π

T=2,∴y=tan2x。令-π

2 kπ<2x<

π

2 kπ(k

∈Z),得 y=tan2x 的单调递增区间为

 -

π

4

2 ,

π

4

2

(k∈Z)。

15.函数 y=2sin

πx 

6 -

π

3

(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为

________。

答案 2 3

解析 因为 0≤x≤9,所以-π

3≤

πx

6 -

π

3≤

6 ,因此当

πx

6 -

π

3=

π

2时,

函数 y=2sin

πx 

6 -

π

3 取得最大值,即 ymax=2×1=2。当πx

6 -

π

3=-

π

3时,

函数 y=2sin

πx 

6 -

π

3 取得最小值,即 ymin=2sin

 -

π

3 =- 3,因此 y

=2sin

πx 

6 -

π

3

(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 2 3。

16.将函数 y=sinx 3cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度,

9

再向上平移 1 个单位长度后,所得图象经过点

π 

4,1 ,则 φ 的最小值

为________。

答案 7π

12

解析 依题意,将 y=2sin

x

π

3 的图象向右平移 φ 个单位长度得

到曲线 y=2sin

x-φ

π

3 ,再向上平移 1 个单位长度得到曲线 y=

2sin

x-φ

π

3 1,又该曲线经过点

π 

4,1 ,于是有 2sin

π 

4-φ

π

3 1

=1,即 sin

7π 

12-φ =0,φ-

12=kπ,k∈Z,φ=kπ

12,k∈Z,因此

正数 φ 的最小值是7π

12。

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