商鞅方升中的冶金、物理、数学
中国古代度量衡与古代数学、物理、天文律学、建筑、冶炼等科学技术的发展起着相互促进的作用。
战国时齐的一件标准量器栗氏量包括升、豆、鬴三个容量单位。《考工记》详细记载了制作这件量器时冶炼青铜和铸造的技术条件及所包括的各个量的尺寸、容量和重量。
随着手工业产品的系列化、规范化，一方面制造器具、检测产品质量离不开度量衡，另一方面，随着生产的发展，技术水平的提高，又不断促进度量衡的发展。
战国时期制造的标准量器“栗氏量”，正是应用了当时数学、物理学以及冶金等方面的最新成就而制造的。
栗氏量器已不存，但《考工记》中对栗氏量作了详细的叙述，如下文：
“栗氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之然后量之，量之以为鬴〔fu釜〕，深尺，内方尺而圜其外，其实一鬴。其臀一寸，其实一豆。其耳三寸，其实一升。重一钧。其声中黄钟之宫。概而不税。其铭曰：‘时文思索，允臻其极，嘉量既成，以观四国，永启厥后，兹器维则’。”
青铜冶炼精纯之后，便可以铸成量器。栗氏量包括鬴、豆、升三量，鬴是主体，呈圆筒形，深一尺，底面是边长为一尺的正方形外接圆。圈足深一寸，容一豆；两侧有耳，深三寸，容一升，即“以度审容”。
这段文字讲了制造标准量器的技术要求：铜量铸作的工艺过程、量器的形制、各器的规格、尺寸、容积以及校准的方法等。“金锡”是指青铜，即铜和锡的合金。古代度量衡器多用青铜制造。
《汉书·律历志》：“凡律度量衡用铜者，名自名也，所以同天下，齐风俗也。铜为物之至精，不为燥湿寒暑变其节，不为风雨暴露改其形”；可见青铜是当时制器的上等材料，事实上所能完好保存至今的度量衡器，也确实多为青铜制品。
标准量器与冶金
《考工记》里的攻金之工中有堨氏（为量器）的工种，“堨氏为量”条说：“嘉量既成，以观四周。永启厥后，兹器惟则”，说明至少在春秋战国时期制造标准器已经形成了工种。
因为需要专门制造“嘉量”，就不免会研究金属熔炼，“堨氏为量”条谈到了合金熔炼过程中，如何依据火焰和烟气颜色来辨别熔炼进程，需“不耗然后权之，权之然后准之，准之然后量之”，这是世界上关于观察熔炼火候的最早记载。
图 《考工记》记载的六种配方：金又六齐（剂）
火候古人又称为“火齐”，是借燃烧时火焰的变化来推测温度高低的技术。当时是一种“目测法”及“经验计量”，《荀子·强国》中提到了这种方法，强调要铸造出精美宝剑，得掌握恰到好处的温度，即“刑范正，金锡美；工冶巧，火齐得”。
在冶炼金属火热时，当火焰没有了杂色并呈现青色了，那就是温度最高之时，成语“炉火纯青”讲的就是这个意思。
春秋战国时的《考工记》中有关于各种器物铜锡的比例和温度的调剂记录：“六分其金而锡居一（铜85.71％、锡14.29％），谓之钟鼎之齐（剂）。四分其金而锡居一（铜80％、锡20％），谓之戈戟之齐（剂）”等。
铜锡按所铸器类分剂调配适当后，就要装入坩锅精炼，精炼的程度要看火候：“凡铸金之状，金与锡黑浊之气竭，黄白次之，黄白之气竭，青白次之，青白之气竭，青气次之，然后可以铸也”（《考工记·栗氏》）。
这里《考工记》说的就是火焰呈不同颜色时候的冶炼操作规则，也就是说通过火焰颜色来定高温计量，不同火焰颜色代表不同的温度。
这些制造青铜器的方法，都是根据千千万万劳动者经验的积累而总结出来的，在早期的冶炼中，铜锡的配比和对温度的测量，虽还不可能利用精密的计量仪器，但在商周确实已总结出分析合金成分和观察高温的方法和标准。
“以度审容”栗氏量里的物理学
栗氏量不仅有尺度、有容积，还要求有一定的重量，即“重一钧”，这样便可以从一件器物上得到度量衡三个单位的量值。如何保证栗氏量能够达到预期的重量呢？
根据《考工记》记载，可以作如下的解释：
第一步“权之”，把铜锡金属按比例熔炼成青铜合金，用天平称出它的重量m；
第二步“准之”，用排水法求得青铜合金的体积v，从m和v可以求出其密度ρ(ρ=m/v)；
第三步“量之”，根据设计要求做出一定容量的量器模型，同样用排水法求得模型本身的体积。体积乘以密度则为此金属量器的重量。
如果容量不符合设计要求，可以调节模型的厚薄，然后用模型翻砂成型，经过浇铸，修整成器，使它达到设计要求。这种用水来测定物质重度(比重)的方法据说与阿基米德所用方法一样，那倒是真奇怪了！
“商鞅方升”用度量审其容
栗氏量现已失传，而“商鞅方升”是目前所见最早“用度数审其容”的标准量器，现藏上海博物馆。
图 商周秦汉的部分度量衡文物——秦量、商鞅方升
商鞅为统一秦国度量衡而制造的标准量器铜方升上刻有：“十六寸五分寸壹为升”，用度量审其容。方升遗存至今。
商鞅铜方升“以度审容”的方法，便于按尺寸校准，复制推广，反映了当时在数学运算和机械制造方面所取得的成就。
西元9年制造的标准量器“新莽铜嘉量”，便是参照了栗氏量设计制造的，“新莽嘉量”不是栗氏量的翻版，而是栗氏量的继承和发展。
经实测，方升的内口长12.4774厘米，宽6.9742厘米，深2.323厘米，可得计算容积为202.15立方厘米，方升自铭16.2立方寸为一升，求得方升单位容积202.15÷16.2=12.478立方厘米/立方寸，可折算一寸长＝2.32厘米，一尺合23.2厘米。
反之如果长度确定了下来，容量也随时可以得到。用“以度审容”的方法便于复现标准容量以推广统一的量值。这些都足以说明战国时制定单位制已具有很高的稳定性。
标准量器的比重、密度
清代学者戴震著《考工记图》，认为制造栗氏量时已运用了水的比重来求得量器的体积，从而保证栗氏量所用青铜为一定的重量，以作为重量标准。
所谓的西方阿基米德用水测王冠重量的方法又是从何而来呢？
据《宋会要》记载，当时的乐律学家李照发明了一种“乐秤”（又称水秤），此秤即以“一合之水重一两，一升之水重一升（斤），一斗之水重一秤”，即用1升水定1斤重的标准。
明清一斤的标准值基本上为600克，清末时“黄金比重法”被放弃，改用一立方纯水之重为权衡比率，即“权水轻重法”，并制作了标准器。但现代测量发现，清末的一斤并不足600克，为接近值598.8克。
而米制单位也曾以一立方分米的纯水在20摄氏度条件下的质量定为一公斤。
清康熙年间规定以金、银等金属作为长度和重量的标准，后发现金属纯度不高影响标准精度而改用一升纯水为重量标准。
满清是一无所知，不知继承中国已有的度量衡，先用金属做长度和重量标准，发现问题后又重新回过头，再改用汉代就有的“以用水的比重为重量标准”（《汉书·礼仪志》即有“权水轻重，水一升，冬重十三两”），所以说满清是华夏文明的整体倒退！
说明中国利用重量确定度量衡单位的方法非常先进，影响了法国“米制”单位的出现。也就是说，制造度量衡标准器时，已经会用到比重、密度等概念，也就并非传教士“带来”的。
据《汉书·食货志下》记载：“太公为周立九府圜法：黄金方寸,而重一斤。”（注《汉书·食货志》（第四册），中华书局1962年6月第一版，第1149页。）；《后汉书·礼仪志》记载：“权水轻重，水一升，冬重十三两。”（注《后汉书·礼仪志》（第十一册），中华书局1965年5月第一版，第3125页。）
在汉代已能运用金属比重和固定温度、固定容量的水作为重量的单位。
在测定物质密度上，我国古代的制盐工人创制了世界上最早的液体比重计。
宋代姚宽的《西溪丛话》中有这样一段话：“予监台州，杜渎盐汤，日以莲子试卤。择莲子重者用之，卤浮三莲四莲味重，五莲尤重。莲子取其浮则直。若二莲直，或一直一横，即味差薄；若卤更薄，即莲沉于底，而煎盐不成。闽中之法，以鸡子桃仁试之，卤味重则正浮在上，咸淡相半，则二物俱沉，与此相类。”
这里记载了我国古代制盐工人测定盐卤密度的两种方法：一种是用浮莲法，即选重的莲子数颗，放入盐卤中，盐卤浮莲的数目越多，盐味越重。另一种是用鸡蛋或桃仁的沉浮情况来测定盐卤的密度。当盐卤的密度大，而鸡蛋或桃仁的平均密度相对小时，则鸡蛋或桃仁就浮出液面；如盐卤淡，其密度小于鸡蛋或桃仁的平均密度时，则鸡蛋或桃仁就下沉。这两种方法与现代所用的浮子式比重（密度）计的原理是一致的。
明代陆容在《菽园杂记》中也有一段记载：“（卤水）以重三分莲子试之，先将小竹筒装卤放莲子于中，若浮而横倒者，则卤极咸，乃可煎烧；若立浮于面者，稍淡；若沉而不起者，俱弃不用。”这种与莲子配合使用的小竹筒，已成了一只携带方便的液体比重（密度）计，其原理与现代所用的浮笔式比重（密度）计相同。
沉浸在液体中的物体都受到液体的浮力作用，在中国关于浮力原理的最早记述见之于《墨经》，其大意说：
形体大的物体，在水中沉下的部分很浅，这是平衡的缘故。该物体浸入水中的部分，即使浸入很浅，也是和该物体(重量)相平衡的。这种情况就像市上的商品交易，一件甲种商品可以换取五件乙种商品一样。
而浮力的应用在《三国志·魏书》卷二记述了曹冲称象的事迹：“时孙权曾致巨象，太祖（曹操）欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。’太祖大悦，即施行焉。”
从这则脍炙人口的故事里，可见三国时已能利用水的浮力来解决大称量的技术问题了。
其实，更早时代的古人已有比重概念，在《孟子》中就有“金重于羽者，岂谓一钧金与一舆羽之谓哉”的话。从对古文献的分析来看,中国古代在比重概念的建立和对物质比重值的测定方面，远较孟子时代为早。
而汉代记载这种方法最早是太公所用，他是西周人，再看《周礼·考工记·舆人》中说：“圆者中规，方者中矩，立者中县，衡者中水。”，这句话应该也和比重、水有关系。
关于“衡者中水”的解释，贾公彦疏：“衡，横也。横者中于水，无高下也。”意思是符合水平面标准。
“匠人建国”条说：“水地以县(悬)。”汉代郑玄注：“于四角立植，以水望其高下……”意思就是在四角立四柱，先悬绳以正柱，后用水平仪望四角的高低，以便平地。也是利用水测平面平地，同时还利用了水的浮力来知道横放在水中的物体符合水平面，没有高下。更深的就可以知道比重的概念了。
而在《考工记》记载栗氏量里也提到一句话：“栗氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之然后量之，量之以为鬴〔fu釜〕，深尺，内方尺而圜其外，其实一鬴”。
讲到栗氏量制作时先要“权之然后准之”，这里“准之”就是利用排水法先求得体积，再算出密度的，而通过“权水轻重”、“衡者中水”，自然会知道水存在浮力，说明在早期制作器物时用到度量衡权水轻重和比重密度有着密切关系。
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附：李之藻《同文算指》是阿基米德“王冠问题”的最初底本！
作者：咫尺理塘歸去来 时间：2021-12-13 15:34:26
李之藻《同文算指》是阿基米德“王冠问题”的最初底本！
由李之藻与洋和尚利玛窦“合作编译”的《同文算指》（刊刻于 1613 年）“通编”卷四有一算题是这样的：
图 由李之藻与洋和尚利玛窦“合作编译”的《同文算指》（刊刻于 1613 年）“通编”卷四有一算题
图 明鎏金龙凤铜薰炉
明鎏金龙凤铜薰炉
图 明代金包玉方爐01
图 明代金包玉方爐02
明代金包玉方爐
该题就是今天我们被告知的“阿基米德鉴定王冠”故事的最初的底本。但是，在这个底本中，却没有提到阿基米德！也就是说，当李之藻编撰《同文算指》之时，洋和尚还没有想到杜撰一个子虚乌有的，希腊化时代的数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家阿基米德。直到1629年之后，一未具名中国人所著《欧罗巴西镜录》中重复了这道鉴定王冠金子成色的题，并且第一次在该题中有声有色地编造了一个阿基米德如何想出鉴定金冠成色并成功揭穿金匠诡计的故事。但是，在该题中，阿基米德叫亚尓日白腊，而王冠问题除了把 “罏”换成“鼎” ，其它数据和所用算法与《同文算指》完全一样。可见在《欧罗巴西镜录》中，故事大致编好了（直接量的溢出水的重量而不是体积，这和《同文算指》完全一致但和今天维基百科版本不同。），但人还没对上。
图 1629年之后，一未具名中国人所著《欧罗巴西镜录》中重复了这道鉴定王冠金子成色的题
《欧罗巴西镜录》中几乎一模一样的算题，只是多了一段“小故事”！
《同文算指》给出的解法是这样的：
一，用一容器盛水至满，把 100 斤的金罏放入容器，假设所溢出的水为 65 斤 。
二，将金罏取出再加满水，把等重( 100 斤) 的纯金放入容器，假设所溢出的水为 60 斤 。
三，又将纯金取出再加满水，把等重( 100 斤) 的银放入容器，假设所溢出的水为 90 斤 。
然后用所谓的“叠借互徵”法，通过两次假设，构造出一个数学模型 ：
假设 100 斤的金罏中掺了 40 斤的银，则其中有 60 斤的纯金。由预设条件知，100 斤的纯金溢水 60 斤，100 斤的银溢水 90 斤 。据此用比例法可推出，60 斤的纯金或 40 斤的银分别溢水 36 斤 。于是，百斤金罏应溢水 72 斤，比预设多 7 斤 。
又假设 100 斤的金罏中掺了 30 斤的银，则其中有 70 斤的纯金 。
同理可推出，70 斤的纯金溢水 42 斤，30 斤的银溢水 27 斤。于是，百斤金罏应溢水 69 斤，比预设多 4 斤。
最后，求得问题的答案是，百斤金罏中掺银 16又2/3斤，实有纯金 83又1/3 斤。
结论是匠人掺假确凿无疑 。
图 《同文算指》中鉴定金罏（lú）成色的题 01
图 《同文算指》中鉴定金罏（lú）成色的题 02
图 《同文算指》中鉴定金罏（lú）成色的题 03
这和阿基米德鉴别王冠方法实际上是一样的。唯一不同的是根据维基百科阿基米德测定金冠及与金冠等重的金块 、 银块所排出来的水的体积 ，然后由此计算出金冠中金和银的含量 。而《同文》鉴定金罏直接测量排出来的重量。咋看上去，好像两者确实有区别，但实际上编造这个故事的人耍了点小手段。因为两个密度不等的不同类金属，如果两者质量等，那么密度低的金属体积就一定比密度大的金属大（密度和体积成反比），也就是说放入水中的话，密度低体积大的金属排出的水体积和重量必然比密度大体积小的金属排出的水体积大。根据同类物质（水）质量和体积成正比，那么所排出水的质量和体积就挂上了勾。比较维基百科版和《同文算指》版，我们可以看出《同文算指》版所使用的都是重量，不需要相互之间换算，甚至不需要知道物体体积和质量之间的关系，就可以直接计算；而维基百科版需要在重量和体积之间换算，这是没有必要的。为什么呢？因为如果有完备的度量衡制度以及度量衡器具，那么只需要称重就可以了！进行体积和质量的换算，不是脱裤子放屁，多此一举吗？
图 《同文算指》中鉴定金罏（lú）成色的题 本题算稿（作者：咫尺理塘歸去来）
本题算稿
通过上述计算过程，我们非常容易看出，这种算法是典型的中式思维产物，具有明显的中式数学算法化特征。那么，为什么李之藻没有翻译西方用字母和西式数学符号表达的代数式，而偏偏用中国传统的盈不足术？如果真如洋和尚所说的“用西方的知识和科学为传教开辟道路，……，利用西方知识吸引中国士人”，那么有什么比100%原汁原味地翻译西方数学更有说服力的呢？怎么李之藻之流翻来翻去都是中国几千年前就已经滚瓜烂熟的知识呢？没道理啊！
图 为什么李之藻没有翻译西方用字母和西式数学符号表达的代数式？
为什么李之藻没有翻译西方用字母和西式数学符号表达的代数式？
这道题的解法是中国古代传统数学中的“盈不足术”，李之藻却称呼它为“迭借互征”，是李之藻不懂中国古代算术吗？是李之藻不知道《九章算术》中的“盈不足术”吗？我看答案是否定的。《同文算指 · 叠借互征第七》：“其法有二：凡俱盈俱不足者，以差数相减，余为法，以乘数相减，余为实。若一盈一不足者，以差数相并为实，而以法除实，则二法相同。”实际上就是中国古代“盈不足术”，李之藻既然已经“翻译”出了“盈”和“不足”及其算法，会不知道这就是“盈不足术”？骗鬼呢吧！正如如钱宝踪在《中国数学史话》说：“我们不要数典忘祖。这个方法应该叫盈不足术。”
什么叫“盈不足”呢？李籍在《九章算术音义》称：“盈者，满也。不足者，虚也。满虚相推，以求其适，故曰盈不足。”盈不足术就是使用两次假设的数字来求解算术题，西方因此称之为“双设法（regula falsi，method of false position，或者 false position method）”。比较上述两个两个定义，我们可以看出盈不足讲出了这个算法的本质，而所谓的“双设法”只是提到了算法第一步，并没有涉及到这个算法的本质。method of false position 可谓离算法本质远矣！这个名字就是隔靴挠痒，挠不到实处！由此可见，双设法是西方对盈不足术的抄袭！
那么什么是“迭借互征”呢？李之藻在《同文算指 · 叠借互征第七》开篇介绍了“迭借互征”的算法：“借虚征实，其术精矣，又有子母杂互隠奥难知者，则两借虚数以征之，征之于实尚远也，或两浮而盈（两盈）、或两缩而不足（两不足）、或一盈一不足，俱以借数列上以较原数，以多寡之差列下，而左右互乘焉。……，此则于未有盈朒（nǜ）之先借数推出盈朒，以求隠数。故曰借征。其显有盈不足实数者，但依旧法求之。诸盈不足者，两盈者、两不足者、盈适足者、不足适足者、及叠互母子者，各具数条见例。”而《九章算术》中同样将“盈不足术”分为“一盈一不足”（第1-第4题）、“两盈”（第5题）、“两不足”（第6题）、“一盈一适足”（第7题）、“一不足一适足”（第8题）五种情形。
我们再看，《算法统宗 · 盈朒第七章》：“盈多也，朒少也。此是假设有余不足者，以求隐杂之数也。隐杂者，不见之数，显者，可见之数。故以显者推隐杂者且如数人共买物，出钱多则有余，少则不足，无可考究者，故以有余不足数示之则人数物价可知矣。”由此可见，李之藻对“盈不足术”实际上非常了解，并非陌生或者不熟，而《同文算指》中的“迭借互征”实际上就是《算法统宗》中的“盈朒”，也就是《九章算术》中的“盈不足术”。李之藻所为其实质就是新瓶装旧酒，换汤不换药。这和他对中国分数分子分母上下位置的颠倒手段如出一辙。至于他指出“旧法未知借推之妙”更是故意歪曲事实的无端指责。
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作者：咫尺理塘歸去来 时间：2021-12-13 16:58:26
那一年，扯蛋的阿基米德
图 别妨碍我在我的中国纸上用中国圆规画中国圆圈！
1613 年，李之藻与洋和尚利玛窦“合作编译”《同文算指》。
那一年，还没有名字的阿基米德的皇冠问题是这样的：问黄金百斤制罏一座， 既成。虑匠人盗金和银，销毁验之恐伤工本。欲知和银若干。
1623年，杨廷筠，洋和尚艾儒略“合著”《职方外纪》。
那一年，阿基米德不是史前希腊人，而是中古埃及地区人。平生第一次有了名字，叫作“亚而几墨得” 或者“亚尔几默得”。
最早在1629年李之藻编《天学初函》之后（梅文鼎考证），未具名中国人著《欧罗巴西镜录》。
那一年，阿基米德叫亚尓日白腊，而王冠问题除了把 “罏”换成“鼎” ，其它数据和所用算法与《同文算指》完全一样，阿基米德生平第一次向中国人展示了他泡澡裸～奔哥的故事。
1643年，方以智著《物理小识》。
那一年，阿基米德换了名字叫几墨得，而且还换了国籍，去了意大利西西里岛，铸巨镜，火烧敌船。
大家想不到吧，度量衡标准器的制作和冶金、物理学也有关系，涉及到比例、比重的概念，这只能是度量衡产生以后出现的，需要解决现实工艺制造的问题，古人发挥了聪明才智才有了这么棒的办法。
前面已经讲了制作栗氏量标准器的时候，古人通过水的比重来求得量器的体积。先要“权之然后准之”，“准之”就是利用排水法先求得体积，再算出密度。
顺便，就再讲两个汉字“浮”与“溢”，关系到比重的理解。
1、“浮”是形声字。小篆从水，孚声。隶变后楷书写作“浮”。
《说文·水部》：“浮，氾（汎）也。从水，孚声。”（浮，漂在水面。从水，孚声。）
“浮”的本义为漂流、漂在水面。如《论语·公冶长》：“道不行，乘桴浮于海。”意思是主张的道行不通了，就乘木筏漂流到海外去。引申指泛舟而行、游水。
2、“溢”是形声字。小篆从水，益声，像水从器皿中漫出。隶变后楷书写作“溢”。
《说文·水部》：“溢，器满也。从水，益声。”（溢，器皿中水满而流出来。从水，益声。）
“溢”的本义为水或其他液体满而流出。如魏徵《谏太宗十思疏》：“惧满溢，则思江海下百川。”引申指满，充满。如“溢满”。进而引申指过度、过分。如“溢美之言”。还引申指超出。如“溢于言表”。
这两个汉字的本义及且都从水，说明古人是根据水的两个现象来命名定字的，也可以说古人知道水中可以漂浮物体，水满则溢，那么可以想见测量溢出水的重量就能知道相应的比重、容积了，也就是今天所说的“排水法”。
而通过“权水轻重”、“衡者中水”，知道物体会浮在水面上，有重量就会溢出一定量的水，从而也会得知水存在浮力，说明在早期制作器物时用到度量衡，权水轻重和比重密度有着密切关系。
而且，比例、比重也需要用到算术计算，因此在古代数学题里引入了这些进行思考并解答，这怎么可能是传教士“教给”中国人的呢？这明明就是中国人教给传教士，教给西方人数学才对！
在此，感谢网友“咫尺理塘歸去来”研究明清时期数学找到并发现了其中的错误，为我们华夏的算术正名了一次，希望我们大家继续学习努力，每个人都会发挥很大的力量的！
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