女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
我们利用风筝和飞镖探索彭罗斯密铺，寻找隐藏的美。我们关注迭代细分过程，通过将半风筝和半飞镖细分为更小的半风筝和半飞镖来创造彭罗斯密铺。通过有选择地给半飞镖和半风筝着色，仅根据它们在细分过程中的相对位置，我们创造了15个隐藏在彭罗斯密铺中的意想不到的独特图案。这些图案往往有一种编织的感觉。另外，通过在递归细分时有选择地丢弃拼块，我们可以获得形似花边的分形图案。最后，我们用追逐曲线来填补分形图案中的负空间。
简介
1974年，罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）发现了一种只使用两种拼块的非周期性平面密铺[3]。虽然有三个版本的彭罗斯密铺，但我们将重点讨论图1所示的使用风筝和飞镖的彭罗斯密铺。彭罗斯密铺对数学家和艺术家来说是相当熟悉的，并已被用于世界各地的建筑中。请看参考文献[1]，这只是其中的一部分。
图1：由深色风筝和白色飞镖组成的彭罗斯密铺
在本文中，我们并不只是考虑最终的彭罗斯密铺，而是根据可用于创建密铺的细分过程，创建并探索三种不同的密铺绘画规则。这种细分是由Raphael Robinson在1975年发现的[3]。这种方法被称为“膨胀”（inflation），从一组初始拼块开始，使用一个替换规则来用更小的拼块替换每个拼块。平面上的任何有限区域都可以通过对一小群拼块递归应用这一过程若干次，然后将得到的图像拉伸以覆盖所需的区域来进行拼合。
这个细分过程是我们本文中着色规则的核心。对于第一种方法，我们根据细分过程的最后一步来决定是否给拼块着色。在第二种方法中，我们使用细分步骤的序列来决定哪些拼块需要丢弃，这个过程类似于在构建谢尔宾斯基三角形时丢弃三角形。在作者以前的一篇论文中，观察到当这两种方法应用于Radin-Conway的风车密铺时，第一种方法产生的图案像编织，第二种方法产生的图案像花边[2]。我们的第三种方法受David Reimann的艺术作品的启发，用追逐曲线填补了第二种方法的负空间。
在我们开始画风筝和飞镖之前，我们需要了解罗宾逊的细分过程。
彭罗斯细分和我们给5种拼块类型的标签
风筝、飞镖和细分。我们探索彭罗斯的密铺法，使用图2中的风筝和飞镖。所有的角都是36的倍数，也就是圆的1/10。具体来说，风筝由圆的2/5、1/5、1/5和1/5的角度组成，飞镖由圆的1/5、1/10、3/5和1/10的角度组成。罗宾逊的细分过程是用更小的拼块替换每个拼块。图3中显示了三次迭代。
图2：风筝和飞镖
图3：最初的一组拼块称为第0代，然后是第1、2和3代。
细分和密铺类型。创建上述序列的关键是将一半风筝和一半飞镖细分为更小的一半风筝和一半飞镖，如图4所示。对于我们的目的，我们需要跟踪和标记所有一半风筝和一半飞镖在同一图中显示。因此，在每次细分之后，每个贴图都有一个标签。图5显示了图3中第三张图像的最终标记。我们称这些标记为拼块类型。因此，本文将探讨5种拼块类型的绘制算法，而不仅仅是两种拼块——风筝和飞镖的绘制算法。
图4: 罗宾逊对彭罗斯拼块的细分和我们对5种拼块类型的标示
图5：标记为第2代的拼块类型
使用按数字着色创建彭罗斯编织
要创建彭罗斯编织，我们只需使用按数字绘制。我们首先将我们的区域迭代到所需的小拼块大小。图6和图7都显示了第8代未绘制的拼块，但实际的艺术作品迭代到了第11代。接下来，将图像划分为多个区域，并决定在每个区域内绘制哪些平铺类型。在图6中，我们创建了5条螺旋线，并对区域1到5进行编号。然后，我们沿中心垂直轴翻转这些螺旋线和数字，以生成如图7所示的松果区域图案。
图6：五个区域和一个局部涂色方案
图7：未涂色的方案
每个区域现在都标有一对数字。最后，我们简单地在每个区域内绘制该类型的所有图块。例如，在标记为1-2的区域中，类型1的每个图块和类型2的每个图块都被涂成黑色。在2-2区域，仅绘制类型2的拼块。
图8：所选区域的拼块类型被涂成黑色
请注意，中心区域只包含一个拼块类型，而在中心轴以外的地方，则涂有一对不同的拼块类型。在图9中，中轴线类似于一个正方形矩阵的对角线。沿着中轴线从顶部开始，下降到图像中心的区域的拼块类型分别是类型4、类型5、类型1、类型2和类型3。从图像中心开始到底部的两个区域是类型5，然后是类型4的区域。
图像的右侧和左侧类似于矩阵的非对角线元素。在上面的图8或下面的图9中，你能看到非对角线区域是沿中心轴的两个相应区域的结合吗？例如，图8中的2-3区域是2-2型区域和3-3型区域的联合。
图9：彭罗斯编织
彭罗斯花边，应用谢尔宾斯基方法
我们现在将谢尔宾斯基类型的绘画过程应用到细分过程中，创造出一个花边的图像。考虑图10中所示的谢尔宾斯基三角。创建这个三角的一种方法是，从一个等边三角形开始，将该三角形细分为四个等边三角形，如图11所示。然后丢弃区域4。通过重复细分和丢弃的过程，我们得到了图10所示的谢尔宾斯基三角。
图10：谢尔宾斯基三角
图11：谢尔宾斯基三角的细分
我们可以对彭罗斯细分应用类似的方法。通过丢弃图12中所有类型2的拼块，我们得到图13。注意这个过程可能会在结果图像中留下一半风筝或一半飞镖。由于我们将迭代这个过程，所以单个的拼块非常小，一半的拼块不会有问题。
为了创建一个包含主题变化的密铺，我们将对我们作品的不同区域应用不同的丢弃规则。此外，与谢尔宾斯基三角不同，我们不会立即丢弃。对于我的作品，我选择在丢弃拼块之前迭代到第7代。然后，我使用上一节中的顺时针螺旋和相同的编号系统将图像分成五个区域，如图14所示。现在，我们使用附加的丢弃步骤来迭代接下来的三代，根据每个区域的标记来丢弃图块类型。这导致图14所示的图像。然后我们将螺旋逆时针翻转，再重复两次。如图16所示，生成的图像包含25个不同的花边图案。顺时针臂上的图案在宏观层面上是相似的，逆时针臂上的图案在微观层面上是相似的。图15显示了一部分图像的放大图，包括两组显示区域边界的螺旋。
图14：在第8-10代中丢弃大拼块后的图案
图15：在第11代和第12代中丢弃小拼块后的图案
图16：彭罗斯花边
用追逐曲线填充负空间
我们绘制彭罗斯密铺的最后一种方法受到了大卫·雷曼在2016年6月《MAA数学杂志》封面上的二项式追求的启发[4]。在这里，Reimann用追踪曲线代替了谢尔宾斯基三角形的空白区域(图17)。要理解追逐曲线，看看雷曼的图案中的中心三角形。想象动物被放在这个中心三角形的三个顶点的每一个上，每只动物向内朝向它左边的动物。然后三只动物以同样的速度直接向它左边的动物追去。直线是每只动物的视线，而平缓的曲线是每只动物不断转向左边移动的动物时所遵循的路径。最终三只动物在中心相遇。
图17：David Reimann的二项式追逐
由于之前的绘画方法使用了谢尔宾斯基三角，我们已经为雷曼的方法做好了准备。自然地，图16太复杂了，无法添加额外的细节。相反，我们在第一代或第二代应用追逐曲线。图18的前三行分别对应于用第二代和第三代的追逐曲线替换拼块类型1、2或3。例如，请注意第二行中的追逐曲线风筝是如何填补图13中的空白区域的。然后我们丢弃第四、五、六代的列值所对应的拼块类型。在第四行和第五行中，追逐曲线分别从第一代开始取代拼块类型4或5。回看图3，我们发现第一代只包含4或5类型的拼块。
图18：绘制有追逐曲线的彭罗斯密铺矩阵
最后，我们以图19的图案Penrose Skates II作为结束。该图像来自图18的第二行和第三列，通过重复两个额外的代际添加了更精细的细节。
图19： Penrose Skates II.
结论
由这三种不同方法创建的绘画规则可以被修改并应用于任何可以用细分法构建的拼块。拼块百科全书[5]包含了大量的拼块集合，其中许多是通过细分法创建的。在本文中，我们只讨论了三种绘画规则。作者挑战你创造你自己的绘画规则，并将其应用于你最喜欢的拼块图案。祝您探索愉快！
参考文献
[1] Beautiful Penrose Tile in Architecture: http://www.eschertile.com/penrose.htm
[2] D.G. Burkholder. Unexpected Beauty Hidden in Radin-Conway’s Pinwheel Tiling. In Bridges Baltimore 2015: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture: 383-386. 2015.
[3] B. Grünbaum and G.C. Shephard, Tilings and Patterns, W.H. Freeman. 1987.
[4] D. Reimann. Binomial Pursuit. MAA Mathematics Magazine: 89 (3). 2016.
[5] The Tiling Encyclopedia: http://tilings.math.uni-bielefeld.de/
[6] Douglas G. Burkholder, Hidden Beauty in Penrose Tiling: Weavings & Lace
[7] https://www.sohu.com/a/440781069_614593
青山不改，绿水长流，在下告退。
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