1.二阶等差数列
请观察下列数列:
1、3、7、13、21、31……
该数列后一个数减去前一个数分别得到2、4、6、8、10,……是一个公差为2的等差数列,则该数列称为二阶等差数列,简单来说,就是原数列的差为等差数列,则该数列就是二阶等差数列。
2.特殊的二阶等差数列
请观察下列数列:
2、6、12、20、……9900,
该数列后一个数减去前一个数分别得到4、6、8、10,……是一个公差为2的等差数列,因此是一个二阶等差数列,该数列还可以看成1×2、2×3、3×4、4×5……99×100,可以看成是两个等差数列相应的项相乘所得,即等差数列一:1、2、3、4、5……99;等差数列二:2、3、4、5……100。
3.问题:如何计算这个特殊的二阶等差数列之和呢?
求1×2 2×3 3×4 4×5 …… 99×100的和
4.问题解决
解题规律:相加可以用裂差法,利用抵消思想解决问题
裂差公式: n×(n 1)=[n×(n 1)×(n 2)-(n-1)×n×(n 1)]÷3
原式=1/3(1×2×3 - 0×1×2 2×3×4 - 1×2×3 3×4×5 - 2×3×4 …… 99×100×101 - 98×99×100)
=1/3(99×100×101
- 0×1×2)=333300
总结:
1×2 2×3 3×4 4×5 …… n×(n 1)=1/3[1×2×3 - 0×1×2 2×3×4 - 1×2×3 3×4×5 - 2×3×4 …… n×(n 1)×(n 2) - (n-1)×n×(n 1)]=1/3[n×(n 1)×(n 2)- 0×1×2]=1/3[n×(n 1)×(n 2)]
5.练习:1×2 2×3 3×4 4×5 …… 10×11
练习能生巧
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