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准确理解二次函数的定义，根据其特征把相关的生产生活问题转化成二次函数模型，从而实现问题的解决。而其基础就在于我们首先要学会二次函数的定义。
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22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
01 基础题
知识点1 二次函数的定义
1．(兰州中考)下列函数解析式中，一定为二次函数的是(C)
A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋
2．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是(C)
A．S是R的正比例函数
B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数
D．以上答案都不对
3．若y＝(a＋2)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是a≠－2.
4．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则二次项系数a＝5，一次项系数b＝－3，常数项c＝1.
5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.
(1)当a≠2时，x，y之间是二次函数关系；
(2)当a＝2且b≠－2时，x，y之间是一次函数关系．
6．判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数，若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．
解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，它是二次函数，它的二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为－6.
知识点2 建立二次函数模型
7．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为(C)
A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x)
C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)
8．已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是(A)
A．y＝－x2＋5x B．y＝－x2＋10x
C．y＝x2＋5x D．y＝x2＋10x
9．在半径为4 cm的圆中，挖出一个半径为x cm的圆，剩下的圆环的面积是y cm2，则y与x的函数关系为(D)
A．y＝πx2－4 B．y＝π(2－x)2
C．y＝π(x2＋4) D．y＝－πx2＋16π
10．某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式y＝x2－x，它是(填“是”或“不是”)二次函数．
02 中档题
11．下列函数中，二次函数有(C)
①y＝1－x2；②y＝；③y＝x(1－x)；④y＝(1－2x)(1＋2x)；⑤y＝9x2－(3x－1)2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如果二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是(C)
A．5 B．3 C．3或－5 D．－3或5
13．菱形的两条对角线的和为26 cm，则菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系为S＝x(26－x)，是二次函数，自变量x的取值范围是0＜x＜26．
14．已知两个变量x、y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x、y之间是二次函数关系，求m的值．
解：根据题意，得
m2－2＝2且m－2≠0.
解得m＝－2.
即m的值为－2.
15．一辆汽车的行驶距离s(单位：m)与行驶时间t(单位：s)的函数关系式是s＝9t＋t2，经12 s汽车行驶了多远？行驶380 m需要多少时间？
解：当t＝12时，s＝9×12＋×122＝180.
∴经12 s汽车行驶了180 m.
当s＝380时，9t＋t2＝380.
解得t1＝20，t2＝－38(不合题意，舍去)．
∴该汽车行驶380 m需要20 s.
16．一块矩形的草地，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若要使草地的面积增加32 m2，长和宽都增加多少米？
解：(1)y＝(8＋x)(6＋x)－8×6，即y＝x2＋14x.
(2)当y＝32时，x2＋14x＝32.
解得x1＝2，x2＝－16(舍去)．
答：长和宽都增加2米．
17．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？
解：(1)S＝x(24－3x)，即S＝－3x2＋24x.
(2)当S＝45时，－3x2＋24x＝45.
解得x1＝3，x2＝5.
又∵当x＝3时，24－3x＝15＞10(舍去)，
∴x＝5.
答：AB的长为5米．
03 综合题
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)四边形APQC的面积能否等于172 mm2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
解：(1)由运动可知，AP＝2x，BQ＝4x，则
y＝BC·AB－BQ·BP
＝×24×12－·4x·(12－2x)，
即y＝4x2－24x＋144.
(2)∵0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC，
∴0<x<6.
(3)当y＝172时，4x2－24x＋144＝172.
解得x1＝7，x2＝－1.
又∵0<x<6，
∴四边形APQC的面积不能等于172 mm2.
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