∠ACD=∠BCD如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,我们也说这个图形关于这条直线轴对称.巧妙利用图形的轴对称性解决问题,往往能达到事半功倍的效果.

例1 (2002年河南省初二数学竞赛试题)如图1,D为等边三角形ABC内一点,DB=DA,BF=AB,∠DBF=∠DBC,求∠BFD的度数.

轴对称图形难题(巧用图形的轴对称性解题)(1)

简析 由AC=BC,BD=AD可知,点A和点B关于直线CD对称,又根据轴对称的性质,可得∠ACD=∠BCD.

∵∠ACB=60° ,∴∠ACD=∠BCD=30°.

由BF=AB,AB=BC,得BF=BC.

又∵∠DBF=∠DBC.

∴⊿BFD与⊿BCD关于直线BD对称,

∴∠BFD=∠BCD=30° .

点评 此题若直接求解可以说很困难,然而合理利用题目的条件,用了两次轴对称,问题便迎刃而解.

例2 (1992年四川省数学竞赛题)如图2,正方形ABCD中,E是AD边的中点,BD与CE相交于点

F,求证:AF⊥BE.

轴对称图形难题(巧用图形的轴对称性解题)(2)

点评 本题从证明∠BAF ∠BAE入手,充分运用正方形的轴对称性,通过两次轴对称把两个角合理转化,使整个问题一目了然.

例3 (2003年湖北省黄冈市初中数学竟赛题)如图3,在⊿ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB PC与AB AC的大小,并说明理由.

轴对称图形难题(巧用图形的轴对称性解题)(3)

点评 本题运用轴对称把分散的条件转化到同一三角形中,根据三角形三边关系,使问题轻松得以解决.

以上三例充分说明,合理利用图形的轴对称性解题,常可以使复杂问题简单化.

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