以三角形、四边形为背景的动态几何问题均以动态几何的形式来考查三角形、四边形的性质，
判定，全等三角形、相似三角形的性质及判定，本节将对此类问题归类如下：
一、在平面直角坐标系中探究
【例题1】已知直线 l 经过 A（6,0）和 B（0,12）两点，且与直线 y = x 交于点 C.
（1）求直线 l 的表达式；
（2）若点 P（x，0）在线段 OA 上运动，过点 P 作 l 的平行线交直线 y = x 于点 D，
① 求 △PCD 的面积 S 与 x 的函数关系式；
② S 有最大值吗？若有，求出当 S 最大时 x 的值 .
【解析】
（1）设直线 l 的表达式为 y = kx b , 用待定系数法求出 k , b 的值即可；
（2）
① 点 C 是直线 l 与 y = x 的交点，从而可求得点 C 的坐标 .
根据三角形的面积公式及结合平行的性质，可求得 S 与 x 的函数关系式；
② 根据二次函数的性质，即可得到 S 的最大值 .
解：
（1）设直线 l 的表达式为 y = kx b ,
由 A（6,0）和 B（0,12），得
∴ 直线 l 的表达式为 y = -2x 12 .
（2）
①
∴ 点 C 的坐标为（4,4），
∴ S△COP = 1/2 x ▪ 4 = 2x .
∵ PD∥直线 l ,
∴ CD/OC = AP/OA .
∵ CD/OC = ( 1/2 h × CD ) / ( 1/2 h × OC ) = S / S△COP，
∴ S / S△COP = AP / OA , 即 S / 2x = （6 - x）/ 6 ,
∴ △PCD 的面积 S 与 x 的函数关系式为 S = -1/3 x^2 2x .
② ∵ S = -1/3 （x - 3）^2 3 ,
∴ 当 S 最大时，x = 3 .
【例题2】如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A , C 均在坐标轴上，且 OA = 4 ,
OC = 3 , 动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 AO 向终点 O 移动；
动点 N 从点 C 出发沿 CB 向终点 B 以同样的速度移动，当两个动点运动了 x 秒（0 < x < 4）时，
过点 N 作 NP⊥BC 交 OB 于点 P，连接 MP .
（1） 直接写出点 B 的坐标，并求出点 P 的坐标（用含 x 的式子表示）；
（2）当 x 为何值时，△OMP 的面积最大？并求出最大值 .
解：
（1）在矩形 OABC 中，OA = 4 , OC = 3 ,
∴ B 点的坐标为（4,3）.
如图，延长 NP 交 OA 于点 G，则 PG∥AB，OG = CN = x .
∵ PG∥AB，
∴ △OPG∽△OBA .
∴ PG / BA = OG / OA , 即 PG / 3 = x / 4 ,
解得 PG = 3/4 x .
∴ 点 P 的坐标为（x , 3/4 x）.
（2）设 △OMP 的面积为 S .
在 △OMP 中，OM = 4 - x , OM 边上的高为 3/4 x，
∴ S 与 x 之间的函数表达式为
配方，得
∴ 当 x = 2 时，S 有最大值，最大值为 3/2 .
二、在几何图形中探究
【例题3】如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3 米，BC = 4 米，动点 P 以 2 米/秒的速度从点 A 出发，
沿 AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1 米/秒的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，
设 P , Q 两点同时移动的时间为 t 秒（0 < t < 2.5）.
（1）当 t 为何值时，PQ∥AB；
（2）设四边形 ABQP 的面积为 y , 当 t 为何值时，y 的值最小？并求出这个最小值 .
【解析】
（1）首先由勾股定理求得 AC = 5 米，然后根据 AB∥PQ 可得到 PC / AC = QC / BC ,
从而得到关于 t 的方程，从而可解得 t 的值；
（2）过点 P 作 PE⊥BC，由 PE∥AB 可得到 PC / AC = PE / AB ,
从而可求得 PE = 3 - 6/5 t , 然后根据 y = S△ABC - S△PQC 列出 t 与 y 的函数关系式，
最后利用配方法求得最小值即可 .
解：
（1）在 Rt△ABC 中，
由题意，得 PC = AC - AP = 5 - 2t , QC = t .
如图 ①，∵ AB∥PQ , ∴ △CPQ∽△CAB .
∴ PC / AC = QC / BC , 即 （5 - 2t）/ 5 = t / 4 ,
解得 t = 20/13 .
（2）如图 ②，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E .
由 （1）知，PC = 5 - 2t , QC = t ,
∵ PE∥AB，
∴ △CPE∽△CAB .
∴ PC / AC = PE / AB , 即 （5 - 2t）/ 5 = PE / 3 .
∴ PE = 3 - 6/5 t .
∴ 当 t = 5/4 时，y 的值最小，最小值为 81/16 .
【例题4】如图，在 △ABC 中，∠C = 60°，BC = 4，AC = 2√3，点 P 在 BC 边上运动，
PD∥AB，交 AC 于 D . 设 BP 的长为 x , △APD 的面积为 y .
（1）求 AD 的长（用含 x 的代数式表示）；
（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并回答当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
（3）是否存在这样的点 P，使得 △ADP 的面积是 △ABP 面积的 2/3 ？若存在，请求出 BP 的长；
若不存在，请说明理由 .
解：
（1）∵ PD∥AB，
∴ AD / AC = BP / BC .
∵ BC = 4 , AC = 2√3 , BP = x ,
∴ AD / 2√3 = x / 4 ,
∴ AD = √3/2 x .
（2）过点 P 作 PE⊥AC 于 E .
∵ sin∠ACB = PE / PC , ∠C = 60°，
∴ PE = PC × sin60° = √3/2（4 - x ）.
∴ y 与 x 之间的函数关系式为
∴ 当 x = 2 时，y 的值最大，最大值是 3/2 .
（3）存在这样的点 P .
∵ △ADP 与 △ABP 等高不等底，
∴ S△ADP / S△ABP = DP / AB .
∵ △ADP 的面积是 △ABP 面积的 2/3 ,
∴ S△ADP / S△ABP = 2/3 ，
∴ DP / AB = 2/3 .
∵ PD∥AB，
∴ △CDP∽△CAB .
∴ DP / AB = CP / CB ,
∴ CP / CB = 2/3 .
∴ （4 - x）/ 4 = 2/3 ,
∴ x = 4/3 ,
∴ BP = 4/3 .
,
