初中数学中，一元二次方程是学习的重点，而一元二次方程中根的判别式的应用可以说是考试中必考的内容，而且根的判别式出题类型也是非常的多，今天和同学们一起总结学习初中数学中一元二次方程根的判别式的应用，通过题型详解，进行根的判别式这一知识点应用的全覆盖，帮助同学们掌握这部分的知识点。
一、判断一元二次方程根的情况
方法点拨： 一元二次方程根的判别式Δ＝b^2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况确定方程中的未知系数．
1、已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax^2＋bx＋c＝0的根的情况是()
A．有两个相等的实数根;B．有两个不相等的实数根;C．没有实数根;D．无法判断
【解析】 ∵点P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴－4ac＞0.
又∵b^2≥0，∴Δ＝b2－4ac＞0，∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故选B.
2、关于x的一元二次方程ax^2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
解：(1)∵b＝a＋2，∴Δ＝b2－4×a×1＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；
(2)答案不唯一，如当a＝1，b＝2时，原方程为x^2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1.
3、已知关于x的方程x^2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
【解析】:(1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论；
(2)根据一元二次方程的根的定义求得m的值，从而求得方程的另一根．分类讨论：①当两根为直角三角形的两直角边长时，由勾股定理得斜边的长度；②当两根为直角三角形的一直角边和斜边长时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长，再根据三角形的周长公式进行计算．
解：(1)证明：∵Δ＝b^2－4ac＝[－(m＋2)]^2－4×1×(2m－1)＝m^2－4m＋8＝(m－2)^2＋4>0，∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵此方程的一个根是1，∴12－(m＋2)＋(2m－1)＝0，解得m＝2，∴原方程为x^2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴方程的另一个根为x＝3.
①当1，3为直角边长时，斜边长为＝√10，
∴直角三角形的周长为1＋3＋√10＝4＋√10；
②当3为斜边长时，另一条直角边长为＝2√2，∴直角三角形的周长为1＋3＋2√2＝4＋2√2.
二、确定一元二次方程中字母系数的值
1、已知关于x的方程(k－1)x^2－2kx＋k－3＝0有两个相等的实数根，则k的值是____.
【解析】 ∵关于x的方程(k－1)x^2－2kx＋k－3＝0有两个相等的实数根，所以k-1≠0,4k^2-4(k-1)(k-3)=0,∴解得k＝3/4.
2、已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴2a－2b＝0，
∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；
(2)△ABC是直角三角形．
理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)^2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴b^2＋c^2＝a^2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，
∴原方程变为2ax^2＋2ax＝0.又∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
三、确定一元二次方程中字母系数的取值范围
1、关于x的一元二次方程x^2＋3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )
A．m≤9/4 B．m＜9/4
C．m≤4/9 D．m＜4/9
【解析】 ∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即Δ＝32－4m＞0，解得m＜9/4.故选B。
四、确定一元二次方程中隐含条件字母系数的取值范围
1、关于x的一元二次方程(k＋1)x^2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥0 B．k≤0
C．k＜0且k≠－1 D．k≤0且k≠－1
【解析】 由题意得Δ＝b^2－4ac＝(－2)^2－4(k＋1)≥0，解得k≤0，又∵k＋1≠0，即k≠－1，∴k≤0且k≠－1.故选D.
2、如果关于x的方程mx^2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x^2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．
解：∵方程mx^2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，∴m≠0，原方程是关于x的一元二次方程，∴Δ＝[－2(m＋2)]^2－4m(m＋5)＝4(m^2＋4m＋4－m^2－5m)＝4(4－m)＜0，∴m＞4.
对于方程(m－5)x^2－2(m－1)x＋m＝0，当m＝5时，方程有一个实数根；
当m≠5时，Δ＝b^2－4ac＝[－2(m－1)]^2－4m(m－5)＝4(3m＋1)＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
综上所述，当m＝5时，此方程有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．
3、关于x的一元二次方程(a－6)x^2－8x＋9＝0有实数根．(1)求a的最大整数值；
(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根.
解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x^2－8x＋9＝0有实数根，∴a－6≠0，Δ＝b^2－4ac＝(－8)^2－4·(a－6)·9≥0，解得a≤70/9且a≠6.∴a的最大整数值为7；
(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x^2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，
∴Δ＝b^2－4ac＝(－8)^2－4×1×9＝28，得∴x1＝4＋√7，x2＝4－√7；
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