在人们的印象中,乌龟是一种爬行速度很慢的动物。关于乌龟有一个耳熟能详的寓言故事:龟兔赛跑,跑的特别快的兔子和特别慢的乌龟进行对比。大家都知道这则寓言的结果:乌龟赢了,因为兔子睡着了。
没有多少人会真的认为乌龟是追不上的。可实际上,在公元前5世纪,有一位前辈思考这个问题。我们无从得知,这位前辈是不是吃饱了撑的,还是闲的没事干,或者脑子进水了,反正就是脑洞大开,给出了下面这样一个案例:
“阿喀琉斯(古希腊神话中的英雄)与乌龟展开竞赛,他的速度是乌龟的10倍,但是乌龟在他前面100米处出发。
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当阿喀琉斯跑了100米时,乌龟已经跑了10米,仍然领先10米;
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当阿喀琉斯再跑10米时,乌龟又跑了1米,仍然领先1米;
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当阿喀琉斯再跑1米时,乌龟又跑了0.1米,仍然领先0.1米;
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… …
10×10 10×1 10×0.1 10×0.01 10×0.001 …=10×(10 10/9)
当然,任何一名中学生都可以建立阿喀琉斯和乌龟的速度函数,或者在二维平面中用两条直线相交求交点的方法,求出阿喀琉斯追上乌龟所需的时间和距离。
在这个答案中,可怕的无穷小数又出现了
但这完全是建立在“我们已知(或假设)阿喀琉斯能够追上乌龟”这个前提下。而在长达2000多年的时间里,学者们苦恼的是如何证明这个前提!比如上面那个无穷级数,我们对其进行四则运算求和,是因为我们知道他收敛,否则不能随意的将四则运算扩展到无穷范围内。
再比如下面这个著名的交替级数的和,就有好几种答案:
谁对谁错?似乎都很有道理啊
为什么会这样,出现好几种看起来都正确的答案?
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有限范围内的四则运算,扩展到无穷时,不一定适用。比如上面这个级数,计算顺序的改变,会导致结果不同;
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有些计算,已经先假设了级数是收敛的,比如上面这个级数的第三种解答。如果S不存在、不收敛,不能做这样的运算。
柯西在1821年着手研究,并逐步结束了这种混乱的局面。
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无穷级数不一定收敛,即不一定等于某个确定的值;
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在有限个数相加时,可以任意改变计算顺序而答案不变。但是在无穷个数相加时,这一定律不适用。
进一步,柯西还给出了级数、数列的收敛条件和判定方法。可以说,是柯大爷把“无穷”这头祸害了数学上千年的猛兽重新关进笼子。
Cauchy,Augustin Louis 1789-1857
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