矩阵可逆的定义:令A是数域F上的一个n阶矩阵,若存在F上n阶矩阵B,使得

AB=E(E为n阶单位矩阵)

则A为可逆矩阵,并且将A的可逆矩阵

记作A⁻¹,称A⁻¹为A的逆矩阵。

如何证明可逆矩阵(高等代数矩阵可逆矩阵的定义及其相关性质的证明)(1)

可逆矩阵的性质1

可逆矩阵A的逆矩阵A⁻¹的逆矩阵为A

即(A⁻¹)⁻¹=A

证明:如果矩阵A为A⁻¹的逆矩阵,那么

根据矩阵可逆的定义,我们可以得到下面这个式子

A⁻¹A=E

所以,A为A⁻¹的逆矩阵。

可逆矩阵的性质2

如果矩阵A可逆,那么(kA)⁻¹=A⁻¹/k

证明:因为矩阵A可逆,所以AA⁻¹=E

所以,(A⁻¹/k)(kA)=[(A⁻¹/k)k]A

=A⁻¹A=E

所以,(kA)⁻¹=A⁻¹/k

可逆矩阵的性质3

如果矩阵A和B都是可逆矩阵,那么

(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹

证明:根据可逆矩阵的定义

(AB)B⁻¹A⁻¹=A(BB⁻¹)A⁻¹

=AEA⁻¹

=AA⁻¹=E

所以,这个等式成立。

可逆矩阵的性质4

如果矩阵A可逆,那么(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ

证明:根据可逆矩阵的定义

Aᵀ(A⁻¹)ᵀ=(A⁻¹A)ᵀ=Eᵀ=E

所以,这个等式成立。

可逆矩阵的性质5

如果矩阵A可逆,那么(Aᵏ)⁻¹=(A⁻¹)ᵏ

证明:根据矩阵可逆的定义

Aᵏ(A⁻¹)ᵏ=(AA⁻¹)ᵏ=Eᵏ=E

所以,这个等式成立。

矩阵可逆的性质6

如果矩阵A是可逆矩阵,那么|A⁻¹|=|A|⁻¹

证明:因为A为可逆矩阵,所以

AA⁻¹=E

从而,|AA⁻¹|=|A||A⁻¹|=|E|=1

进而,|A⁻¹|=1/|A|

即 A⁻¹|=|A|⁻¹

,