本文转自微信公众号接地气数学
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上回说到高数的特点, 今天举一个简单的例子让大家感受一下. 看下面的定义:
看了这个定义以后, 一个正常的心理是这样的:
别急, 听我细细道来. 其实这个定义说的是特别简单的一件事, 就是当n趋于无限大时, 这个数列的数无限接近于A的意思. 举个粟子, 对于数列
我写出它的前几项:
2, 1.25, 1.1111, 1.0625, 1.04,
1.02778, 1.0104, 1.015625, ...
看, 这些数是不是无限接近于1呢? 你也可以多算几项, 这个规律更明显. 所以在这个粟子中, 我们可以说: 这个数列的极限是1.
接下来有两个内容:
●为什么要用这么复杂的方式来定义这么简单的一件事
●这个定义该怎么理解
基于你们更喜欢听故事, 就先说说为什么要采用这个复杂的定义.
01
为什么要用这么复杂的定义呢?
是啊, 这么难理解, 为什么我们不这样定义呢:
若一个数列的项无限接近于A, 则称A是这个数列的极限.
这样多好理解啊!
这要追溯到17世纪. 当时, 牛顿等一大批欧洲数学家大力发展了一套数学方法, 这套方法包括了极限和微积分等工具. 数学的这一次突破在人类历史上具有非常重要的意义, 直接导致了随后的工业革命. 可以说我们现在生活在的各种便利, 生产力的各种强大, 对其他动物的各种优势, 都离不开那一次数学上的突破.
在这部分数学发展的初期, 各种定义就是怎么直观怎么来的. 但是这样带来了很多不严谨. 例如上面的定义, "无限趋于"这个词, 就是很含糊的, 或者说, 不够精确. 本来这也没什么, 反正 大家都知道是什么, 能够计算就行了. 但是后来, 牛顿的同胞, 英国的一个大主教, 乔治·贝克莱, 为了维护神学, 抨击数学, 利用了当时数学当中的很多不严谨定义, 找到了很多要害. 他收集了很多这些问题, 专门写了一本书, 书名很长, 叫做
《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》
那个不信神数学家指的就是牛顿, 牛顿是当时数学界的代表人物, 分析学就是指这套新发展的数学理论. 这个书名我翻译成人话, 就是
你们这些分析学家啊, 还好意思说我们神学太神秘, 故弄玄虚, 看, 你们的分析学又好到哪里去? 我看了下你们的理论, 随便就发现很多问题了, 都够写成一本书了. 你们数学也是在故弄玄虚, 凭什么不信我们神学! 你们啊, 拿衣服!
新鲜事物的发展肯定不是那么容易被接受的. 贝克莱主教虽然是神学人物, 但是书中的批评却切中了要害. 很多数学家谎了, 感觉到数学的基础出现了问题, 就好像大厦的地基没打好, 数学的大厦摇摇欲坠. 数学史上称贝克莱主教提出的问题为"贝克莱悖论", 对数学的冲击称为"第二次数学危机".
那么, 数学是不是就落败了呢? 没有, 这个事件(以及其他一些事)让数学家认识到了, 各种定义不能像以前那样乱来了, 必须严谨化. 于是, 在柯西等人的努力下, 数学概念都用严谨的方式表示出来, 从此数学成为了最严谨的学科. 于是, 数列的极限就变成了一开始那样定义了. 贝克莱们再也没有办法从这个角度攻击数学了.
总结一下, 为什么要这么晦涩地定义数列的极限, 是因为:
严谨
否则数学的根基会不牢固, 会出现很多问题.
贝克莱主教的目的虽然是抨击数学, 但是客观上也促进了数学的发展, 因此, 数学史上应该有他的名字.
02
怎么理解这个定义?
这部分估计看的人不会多, 我就随便说说吧. 主要理解一下"无限接近"是怎么体现出来的.
"无限接近", 就是"要多接近有多接近"的意思, 相差很小就"接近"的意思了, 相差再小都可以, 就是"无限接近"了.
首先把粟子中的数列化简为
好, 我想说明这个数列的极限是1. 要无限接近于1吧, 好, 你要多接近? 相差0.01? 在第10项之后, 这个数列的每一项都和1相差小于0.01. 也就是:
嫌不够接近吗? 好, 相差0.001也行, 32项之后就是:
经过严谨的推理, 可以得出一个结论: 不管相差得再小, 总能够在某一项之后实现, 也就是说不够再小的正数ε, 都能找到一个N, 在第N 项之后, 相差小于ε.
看, 这不就是本文一开始的定义吗? 所以说, 这个定义既严谨又准确地把数列的极限描述出来了.
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